Відмінності між версіями «Сферичні функції Беселя»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
Рядок 18: Рядок 18:
 
:<math>y_{n}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+1/2}(x) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-n-1/2}(x).</math>
 
:<math>y_{n}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+1/2}(x) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-n-1/2}(x).</math>
  
<math>y_n</math> також позначається <math>n_n</math> або [[Eta (letter)|η]]<sub>n</sub>; Деякі автори називають ці функції сферичної Неймана'''функціі'''.
+
<math>y_n</math> також позначається <math>n_n</math> або [[Eta (letter)|η]]<sub>n</sub>; Деякі автори називають ці функції сферичними функціями Неймана.
 +
 
 +
Перші кілька сферичних функцій Бесселя:
 +
 
 +
:<math>j_0(x)=\frac{\sin x} {x}</math>
 +
:<math>j_1(x)=\frac{\sin x} {x^2}- \frac{\cos x} {x}</math>
 +
:<math>j_2(x)=\left(\frac{3} {x^2} - 1 \right)\frac{\sin x}{x} - \frac{3\cos x} {x^2}</math>
 +
:<math>j_3(x)=\left(\frac{15}{x^3} - \frac{6}{x} \right)\frac{\sin x}{x} -\left(\frac{15}{x^2} - 1\right) \frac{\cos x} {x},</math>
 +
та
 +
:<math>y_0(x)=-j_{-1}(x)=-\,\frac{\cos x} {x}</math>
 +
:<math>y_1(x)=j_{-2}(x)=-\,\frac{\cos x} {x^2}- \frac{\sin x} {x}</math>
 +
:<math>y_2(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,\frac{3}{x^2}+1 \right)\frac{\cos x}{x}- \frac{3 \sin x} {x^2};</math>
 +
 
 +
:<math>J_{n+\frac 1 2}(x)=\sqrt \frac 2 {\pi x} \sum_{i=0}^\frac {n+1} 2 (-1)^{n-i}\left[\sin(x) \left(\frac 2 x\right)^{n-2i} \frac {(n-i)!}{i!} {-\frac 1 2-i \choose n-2i}- \cos(x) \left(\frac 2 x\right)^{n+1-2i} \frac {(n-i)!}{i!} i {-\frac 1 2-i \choose n-2i+1}\right].</math>

Версія за 16:46, 19 травня 2010

Функції Бесселя в математиці - сім'я функцій, які є канонічними розв'язками диференціального рівняння Бесселя:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0,


де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha  — довільне дійсне число, яке називається порядком.

Сферичні функції Бесселя: jn, yn

Файл:Spherical Bessel j Functions (n=0,1,2).svg
Spherical Bessel functions of 1st kind, jn(x), for n = 0, 1, 2
Файл:Spherical Bessel y Functions (n=0,1,2).svg
Spherical Bessel functions of 2nd kind, yn(x), for n = 0, 1, 2

При розв'язанні рівняння Гельмгольца в сферичних координатах методом відокремлення змінних, радіальне рівняння має наступний вигляд:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + 2x \frac{dy}{dx} + [x^2 - n(n+1)]y = 0.


2 лінійно незалежних розв'язки цього рівняння називается сферичными функціями Бесселя jn and yn, і пов'язані із звичайними функціями Бесселя Jn and Yn

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): j_{n}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{n+1/2}(x),


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{n}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+1/2}(x) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-n-1/2}(x).


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_n

також позначається Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n_n
або ηn; Деякі автори називають ці функції сферичними функціями Неймана.

Перші кілька сферичних функцій Бесселя:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): j_0(x)=\frac{\sin x} {x}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): j_1(x)=\frac{\sin x} {x^2}- \frac{\cos x} {x}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): j_2(x)=\left(\frac{3} {x^2} - 1 \right)\frac{\sin x}{x} - \frac{3\cos x} {x^2}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): j_3(x)=\left(\frac{15}{x^3} - \frac{6}{x} \right)\frac{\sin x}{x} -\left(\frac{15}{x^2} - 1\right) \frac{\cos x} {x},

та

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_0(x)=-j_{-1}(x)=-\,\frac{\cos x} {x}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_1(x)=j_{-2}(x)=-\,\frac{\cos x} {x^2}- \frac{\sin x} {x}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_2(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,\frac{3}{x^2}+1 \right)\frac{\cos x}{x}- \frac{3 \sin x} {x^2};


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_{n+\frac 1 2}(x)=\sqrt \frac 2 {\pi x} \sum_{i=0}^\frac {n+1} 2 (-1)^{n-i}\left[\sin(x) \left(\frac 2 x\right)^{n-2i} \frac {(n-i)!}{i!} {-\frac 1 2-i \choose n-2i}- \cos(x) \left(\frac 2 x\right)^{n+1-2i} \frac {(n-i)!}{i!} i {-\frac 1 2-i \choose n-2i+1}\right].