|
|
| Рядок 1: |
Рядок 1: |
| − | '''<font color='red' size=3> Циліндричними функціями - </font>''' називається розвиток рівняння Бесcеля. У 17 пункті отримано першу циліндричну функцію - функція Бесcеля I роду у вигляді степеневого ряду. Цю функцію можна записати через γ-функцію: | + | '''<font color='red' size=3>Функції Бесселя цілого порядку. </font>''' |
| − | :<math>{J_{m}(z)}=\int_0^\infty {e}^{-t}{t}^{z+1}dt\Rightarrow {I_m(z)}=(\frac{z}{2})^m\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!J(m+k+1)} </math>
| + | |
| − | :Ще однією циліндричною функцією( розв'язком рівняння Бесcеля) є функція Бесcеля I роду
| + | |
| − | ==Функція Неймана (або Бесcеля I роду):==
| + | |
| − | :<math>{N_m(z)}=\frac{1}{sinm\pi}[J_m(z)cos\pi-J_{-m}(z)]</math> якщо <math>m \not\in \mathbf{Z}</math>
| + | |
| − | :<math>{N_m(z)}={(-1)}^mN_{-m}(z)=\frac{2}{\pi}J_m(z)(\ln\frac{z}{2}+c)-\frac{1}{\pi}(\frac{z}{2})^m\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!(m+k)!}(\frac{z}{2})^2k(\sum^{k}_{i=1}\frac{1}{i}+\sum^{m+k}_{i=1}{\frac{1}{i}})-{\frac{1}{\pi}}{(\frac{z}{2})^{-m}}\sum^{m-1}_{k=0}\frac{(m-k-1)!}{k!}(\frac{z}{2})^2k</math>
| + | |
| − | :якщо <math>m \not\in \mathbf{Z}</math> <math>c=-\int_0^\infty {e}^{-t}lntdt=0.577216</math>, с - стала Ейлера-Маскероні.
| + | |
| − | ==='''<font color='red' size=3> На основі функцій Бесcеля I та II роду можна побудувати іншу пару циліндричних функцій</font>'''===
| + | |
| − | :Функція Генкеля I роду:
| + | |
| − | :<math>{H_m}^{(1)}(z)=J_{m}(z)+iN_{m}(z)</math>
| + | |
| − | :Функція Генкеля II роду:
| + | |
| − | :<math>{H_m}^{(2)}(z)=J_{m}(z)-iN_{m}(z)</math>
| + | |
| − | :Кожна циліндрична функція <math>~{Z_{m}(z)}</math> порядку m може бути представлена як лінійна комбінація <math>~J_{m}(k)</math> та <math>~N_{m}(k)</math> або лінійними комбінаціями :<math>{H_m}^{(1)}(z)</math> та <math>{H_m}^{(2)}(z)</math>
| + | |
| − | :<math>~Z_{m}(z)=aJ_{m}(z)+b\Nu_{m}(z) </math>
| + | |
| − | :<math>~Z_{m}(z)=\alpha{H_m}^{(1)}(z)+\beta{H_m}^{(2)}(z) </math>
| + | |
| − | Якобіан (визначник Вронського): <math>~W(J_{m}(z),N_m(z))=\frac{2}{z\pi} </math>
| + | |
| − | :<math>~W({H_m}^{(1)}(z),{H_m}^{(2)}(z))=-\frac{4i}{z\pi} </math>
| + | |
| − | :<math>~W(J_{m}(z),J_{-m}(z))=\frac{-2sinm\pi}{z\pi} </math> при <math>m \in \mathbf{Z}, W=0, J_{m} і J_{-m} - </math>лінійно залежні
| + | |
| − | ==Рекурентні співвідношення між функціями Бесселя:==
| + | |
| − | :<math>~Z_{m+1}(z)=\frac{Z_{m}}{z}Z_{m}(z)-Z_{m-1}(z)=</math>(відсутні похідні) <math>~=\frac{m}{z}Z_{m}(z)-\frac{d}{dz}Z_{m}(z)={-z}^m\frac{d}{dz}({z}^{-m}Z_{m}(z))</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ==Циліндричні функції, порядок яких дорівнює половині непарного цілого числа, виражаються через елементарні функції==
| + | |
| − |
| + | |
| − | :<math>~{J_{\frac{1}{2}}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{sinz}{\sqrt{z}}</math>
| + | |
| − | :<math>~{J_{-{\frac{1}{2}}}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{cosz}{\sqrt{z}}</math>
| + | |
| − | :<math>~{J_{\frac{3}{2}}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}(-\frac{cosz}{\sqrt{z}}+\frac{sinz}{z\sqrt{z}})</math>
| + | |
| − | :<math>~{J_{-{\frac{3}{2}}}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}(-\frac{sinz}{\sqrt{z}}-\frac{cosz}{z\sqrt{z}})</math>
| + | |
| − | :<math>~{J_{k+\frac{1}{2}}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}z^{k+\frac{1}{2}}(-\frac{1}{z}{\frac{d}{dz}})^{k}\frac{sint}{z}</math> <math>~(k=1,2,...)</math>
| + | |
| − | :<math>~{H_{\frac{1}{2}}^{(1)}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{i}\frac{e^{iz}}{\sqrt{z}}</math>
| + | |
| − | :<math>~{H_{-\frac{1}{2}}^{(1)}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{e^{iz}}{\sqrt{z}}</math>
| + | |
| − | :<math>~{H_{\frac{1}{2}}^{(2)}(z)}=-\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{i}\frac{e^{-iz}}{\sqrt{z}}</math>
| + | |
| − | :<math>~{H_{\frac{1}{2}}^{(2)}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{e^{-iz}}{\sqrt{z}}</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ==Інтегральні представлення функції Бесселя==
| + | |
| − | | + | |
| − | :<math>~{J_{m}(z)}=\frac{1}{\pi}\int_a^b cos(mt-zsint)dt</math> <math>~m=0,1,2,...</math>
| + | |
| − | | + | |
| | | | |
| | Функція Бесселя невід'ємного цілого порядку можна отримати як коефіцієнти розвинення в ряд по додатних та від'ємних степенях змінної S функції <math>{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}</math>(ряд Лорана) | | Функція Бесселя невід'ємного цілого порядку можна отримати як коефіцієнти розвинення в ряд по додатних та від'ємних степенях змінної S функції <math>{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}</math>(ряд Лорана) |
| Рядок 49: |
Рядок 13: |
| | | | |
| | Часткові випадки:<math>{1={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}}</math> | | Часткові випадки:<math>{1={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}}</math> |
| | + | |
| | + | <math>{z^n=2^n\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(m+2k)(n+k-1)}{k!}}</math> |
| | + | |
| | + | Z беретьсь з множини комплексних чисел. |
| | + | |
| | + | '''<font color='red' size=3>Умови ортогональності функції Бесселя. </font>''' |
| | + | |
| | + | Нехай є нулі <math>{\mu{i}}</math> і <math>{\mu{k}}</math> функції Бесселя <math>{{J_{m}(x)}}</math>. |
| | + | Тоді <math>{\int_0^1{J_{m}}(\mu{i}(x))dx }</math> |
| | + | |
| | + | Гіпергеометричний ряд |
| | + | |
| | + | Функції Бесселя можуть бути виражені через гіпергеометричну функцію: |
| | + | |
| | + | J_\alpha(z)=\frac{(z/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} {}_0F_1 (\alpha+1; -z^2/4). |
Версія за 16:28, 19 травня 2010
Функції Бесселя цілого порядку.
Функція Бесселя невід'ємного цілого порядку можна отримати як коефіцієнти розвинення в ряд по додатних та від'ємних степенях змінної S функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}
(ряд Лорана)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}={J_{0}(z)}\neq\sum^{\infty}_{m=1}(S^m+(-S)^{-m})^{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}{J_{m}(z)}
або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\cos(z\mathrm{sin}\, t)={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}\mathrm{cos}\, kt}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\sin(z\mathrm{sin}\, t)=2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k-1}(z)}\sin{(2k-1)}t}
або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e\pm{iz\mathrm{sin}\, t}=\sum^{\infty}_{m=\infty}{J_{m}(z)}e^{-mt}}
Часткові випадки:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {1={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {z^n=2^n\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(m+2k)(n+k-1)}{k!}}
Z беретьсь з множини комплексних чисел.
Умови ортогональності функції Бесселя.
Нехай є нулі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\mu{i}}
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\mu{k}}
функції Бесселя Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{J_{m}(x)}}
.
Тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\int_0^1{J_{m}}(\mu{i}(x))dx }
Гіпергеометричний ряд
Функції Бесселя можуть бути виражені через гіпергеометричну функцію:
J_\alpha(z)=\frac{(z/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} {}_0F_1 (\alpha+1; -z^2/4).
