Відмінності між версіями «Інтеграл Фур’є в комплексній формі»
(→Інтеграл Фур'є в комплексній формі) |
(→Інтеграл Фур'є в комплексній формі) |
||
| Рядок 5: | Рядок 5: | ||
Обернене перетворення Фур'є задається виразом | Обернене перетворення Фур'є задається виразом | ||
:<math> \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t} d\omega = f(t) </math> | :<math> \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t} d\omega = f(t) </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Свойства == | ||
| + | Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций [[Пространство Lp#Пространство L²|класса <math>L_1(\R)</math>]], преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций, и даже [[обобщённая функция|обобщённых функций]]. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье: | ||
| + | * Преобразование Фурье является [[линейный оператор|линейным оператором]]: | ||
| + | : <math>\widehat{(\alpha f+\beta g)}=\alpha\hat{f}+\beta\hat{g}.</math> | ||
| + | * Справедливо ''[[равенство Парсеваля]]'': если <math>f\in L_1(\R)\cap L_2(\R)</math>, то преобразование Фурье сохраняет <math>L_2</math>-норму: | ||
| + | : <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2\,dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}|{\hat f(w)}|^2\,dw.</math> | ||
| + | Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство [[Пространство Lp#Пространство L²|<math>L_2(\R)</math>]]. Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех <math>f\in L_2(\R)</math>. | ||
| + | * ''Формула обращения'': | ||
| + | : <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(w)e^{ix\omega}\,dw</math> | ||
| + | справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция <math>f</math> является достаточно гладкой. Если <math>f\in L_2(\R)</math>, то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода. | ||
| + | |||
| + | Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний <math>e^{i\omega x}</math> с частотами <math>\omega</math>, амплитудами <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}|\hat{f}(\omega)|</math> и фазовыми сдвигами <math>\arg \hat{f}(\omega)</math> соответственно. | ||
| + | * ''Теорема о свертке'': если <math>f,\;g\in L_1(\R)</math>, тогда | ||
| + | : <math>\widehat{(f\ast g)}=\sqrt{2\pi}\widehat{f}\widehat{g}</math>, где | ||
| + | : <math>(f\ast g)(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t-s)g(s)\,ds.</math> | ||
| + | Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций. | ||
| + | * ''Преобразование Фурье и дифференцирование''. Если <math>f,\;f'\in L_1(\R)</math>, то | ||
| + | : <math>\widehat{(f')}=i\omega\widehat{f}.</math> | ||
| + | Из этой формулы легко выводится формула для <math>n</math>-й производной: | ||
| + | : <math>\widehat{(f^{(n)})}=(i\omega)^n\widehat{f}.</math> | ||
| + | Формулы верны и в случае обобщённых функций. | ||
| + | * ''Преобразование Фурье и сдвиг''. | ||
| + | : <math>\widehat{f(x-x_0)}=e^{-i\omega x_0}\hat{f}(w).</math> | ||
| + | Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой [[дельта-функция|дельта-функций]] <math>\delta(x-x_0)</math>, а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции. | ||
| + | * ''Преобразование Фурье и растяжение''. | ||
| + | : <math>\widehat{f(ax)}=|a|^{-1}\hat{f}(w/a).</math> | ||
| + | * ''Преобразование Фурье обобщённых функций''. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца): | ||
| + | : <math>S(\mathbb{R}):=\left\{\varphi\in C^{\infty}(R):\forall n,\;m\in\N\;x^n\varphi^{(m)}(x)\xrightarrow{x\to\pm\infty}0\right\}.</math> | ||
| + | Ключевым свойством этого пространства является то, что это [[инвариантное подпространство]] по отношению к преобразованию Фурье. | ||
| + | |||
| + | Теперь определим его [[двойственное пространство]] <math>S^*(\R)</math>. Это некоторое подпространство в пространстве всех [[обобщённая функция|обобщённых функций]] — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции <math>f\in S^*(\R)</math> её преобразованием Фурье называется обобщённая функция <math>\hat{f}\in S^*(\R)</math>, действующая на основные функции по правилу | ||
| + | : <math>\langle\hat{f},\;\varphi\rangle=\langle f,\;\hat{\varphi}\rangle.</math> | ||
| + | Например, вычислим преобразование Фурье [[дельта-функция|дельта-функции]]: | ||
| + | : <math>\langle\hat{\delta},\;\varphi\rangle=\langle\delta,\;\hat{\varphi}\rangle=\left\langle\delta,\;\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\cdot 1\,dx=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\;\varphi\right\rangle.</math> | ||
| + | Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math>. | ||
Версія за 11:08, 19 травня 2010
Інтеграл Фур'є в комплексній формі
Перетворення Фур'є Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t) \,
математично визначається як функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(\omega) \,
, яка задається інтегралом
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t} dt
Обернене перетворення Фур'є задається виразом
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t} d\omega = f(t)
Свойства
Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): L_1(\R) , преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций, и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:
- Преобразование Фурье является линейным оператором:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \widehat{(\alpha f+\beta g)}=\alpha\hat{f}+\beta\hat{g}.
- Справедливо равенство Парсеваля: если Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f\in L_1(\R)\cap L_2(\R)
, то преобразование Фурье сохраняет Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): L_2 -норму:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2\,dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}|{\hat f(w)}|^2\,dw.
Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): L_2(\R) . Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f\in L_2(\R) .
- Формула обращения:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(w)e^{ix\omega}\,dw
справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f
является достаточно гладкой. Если Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f\in L_2(\R)
, то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.
Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): e^{i\omega x}
с частотами Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \omega
, амплитудами Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{1}{\sqrt{2\pi}}|\hat{f}(\omega)|
и фазовыми сдвигами Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \arg \hat{f}(\omega)
соответственно.
- Теорема о свертке: если Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f,\;g\in L_1(\R)
, тогда
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \widehat{(f\ast g)}=\sqrt{2\pi}\widehat{f}\widehat{g}
, где
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (f\ast g)(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t-s)g(s)\,ds.
Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.
- Преобразование Фурье и дифференцирование. Если Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f,\;f'\in L_1(\R)
, то
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \widehat{(f')}=i\omega\widehat{f}.
Из этой формулы легко выводится формула для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n -й производной:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \widehat{(f^{(n)})}=(i\omega)^n\widehat{f}.
Формулы верны и в случае обобщённых функций.
- Преобразование Фурье и сдвиг.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \widehat{f(x-x_0)}=e^{-i\omega x_0}\hat{f}(w).
Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функций Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \delta(x-x_0) , а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.
- Преобразование Фурье и растяжение.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \widehat{f(ax)}=|a|^{-1}\hat{f}(w/a).
- Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S(\mathbb{R}):=\left\{\varphi\in C^{\infty}(R):\forall n,\;m\in\N\;x^n\varphi^{(m)}(x)\xrightarrow{x\to\pm\infty}0\right\}.
Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.
Теперь определим его двойственное пространство Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S^*(\R) . Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f\in S^*(\R)
её преобразованием Фурье называется обобщённая функция Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{f}\in S^*(\R)
, действующая на основные функции по правилу
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \langle\hat{f},\;\varphi\rangle=\langle f,\;\hat{\varphi}\rangle.
Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \langle\hat{\delta},\;\varphi\rangle=\langle\delta,\;\hat{\varphi}\rangle=\left\langle\delta,\;\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\cdot 1\,dx=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\;\varphi\right\rangle.
Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{1}{\sqrt{2\pi}} .
