Відмінності між версіями «Асимптотичні розвинення циліндричних функцій.»
(Створена сторінка: :<font color='black' size=4>''Асимптотичне розвинення''</font> - це наближене представлення функції при в…) |
|||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
| − | :<font color=' | + | :<font color='blue' size=4>''Асимптотичне розвинення''</font> - це наближене представлення функції при великих значеннях <math>\mathbf{Z}</math>. |
:Функція Бесселя асимптотично має вигляд: | :Функція Бесселя асимптотично має вигляд: | ||
:1) якщо <math>{z}\rightarrow{\infty}</math> | :1) якщо <math>{z}\rightarrow{\infty}</math> | ||
| Рядок 22: | Рядок 22: | ||
| − | :2) якщо <math> | + | :2) якщо <math>|{z}|\gg{m}</math> , <math>{z}\rightarrow{\infty}</math> то справедливі асимптотичні формули: |
<math>{J_m(z)}\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}cos(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})</math> | <math>{J_m(z)}\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}cos(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})</math> | ||
| Рядок 37: | Рядок 37: | ||
| − | Асимптотичне розвинення зручно застосовувати для спрощення обчислення при великих Z, а також для перевірки отриманого результату. | + | Асимптотичне розвинення зручно застосовувати для спрощення обчислення при великих <math>\mathbf{Z}</math>, а також для перевірки отриманого результату. |
Версія за 20:10, 17 травня 2010
- Асимптотичне розвинення - це наближене представлення функції при великих значеннях Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{Z}
.
- Функція Бесселя асимптотично має вигляд:
- 1) якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {z}\rightarrow{\infty}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {J_m(z)}\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}[{A_m(z)\cos(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})-B_m(z)\sin(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})]}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {N_m(z)}\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}[{A_m(z)\sin(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})-B_m(z)\cos(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})]}
- де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A_m(z)}
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B_m(z)}
мають асимптотичне розвинення:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A_m(z)=1-\frac{({4m^2}-1)({4m^2}-9)}{2!(8z)^2}+\frac{({4m^2}-1)({4m^2}-9)({4m^2}-25)({4m^2}-49)}{4!(8z)^4}\mp...
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B_m(z)=\frac{({4m^2}-1)}{8z}+\frac{({4m^2}-1)({4m^2}-9)({4m^2}-25)}{3!(8z)^3}\pm...
Аналогічні вирази можна отримати для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(1)}(z)
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(2)}(z)
, користуючись їх зв'язком з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {J_m}(z)
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {N_m}(z)
- 2) якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): |{z}|\gg{m}
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {z}\rightarrow{\infty}
то справедливі асимптотичні формули:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {J_m(z)}\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}cos(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {N_m(z)}\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}sin(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})
Тобто Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A_m(z)}
=1 , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B_m(z)}
=0
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(1)}(z)\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}e^{i(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(2)}(z)\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}e^{-i(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})}
Асимптотичне розвинення зручно застосовувати для спрощення обчислення при великих Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{Z} , а також для перевірки отриманого результату.
