Відмінності між версіями «Ігрова постановка задач СП.»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
Рядок 49: Рядок 49:
  
  
<font size=3> '''Теорема 2.1.''' Нехай непорожня множина <math> \tilde{T} </math> опукла та слабкокомпактна, <math> \phi_i, i=1,...,m. </math> опуклі, а <math> \psi_0(\omega,x) </math> та <math> \phi_i[psi_i(\omega,x)], i=1,...,m </math> рівномірно (по <math> F_{\omega}\in \tilde{T} </math>) інтегровані для всіх <math> x\in X = \{x\geq0\} </math>. Тоді  </font>
+
<font size=3> '''Теорема 2.1.''' Нехай непорожня множина <math> \tilde{T} </math> опукла та слабкокомпактна, <math> \phi_i, i=1,...,m. </math> опуклі, а <math> \psi_0(\omega,x) </math> та <math> \phi_i[\psi_i(\omega,x)], i=1,...,m. </math> рівномірно (по <math> F_{\omega}\in \tilde{T} </math>) інтегровані для всіх <math> x\in X = \{x\geq0\} </math>. Тоді  </font>
  
 
<font size=3> <math> \min_{x\in X} \max_{F_{\omega}\in \tilde{T}} \int_{\Omega} g(\omega,x)dF_{\omega} = \max_{F_{\omega}\in \tilde{T}} \min_{x\in X} \int_{\Omega} g(\omega,x)dF_{\omega} = \int_{\Omega} g(\omega,x^*)dF_{\omega}^* </math> </font>
 
<font size=3> <math> \min_{x\in X} \max_{F_{\omega}\in \tilde{T}} \int_{\Omega} g(\omega,x)dF_{\omega} = \max_{F_{\omega}\in \tilde{T}} \min_{x\in X} \int_{\Omega} g(\omega,x)dF_{\omega} = \int_{\Omega} g(\omega,x^*)dF_{\omega}^* </math> </font>

Версія за 20:41, 3 червня 2017

Зазвичай в задачах стохастичного програмування спільний розподіл випадкових параметрів умов задачі припускається заданим. В тих випадках, коли за тими чи іншими міркуваннями визначення спільного розподілу випадкових початкових даних не є можливим, стохастична задача може бути розглянута як гра двох осіб з нульовою сумою.

Першим є гравець, який приймає рішення. Він прагне звести до мінімуму середню плату за гру. Йому протистоїть природа, що обирає свої стани, виходячи з тенденції максимізувати середню плату першого гравця. При кожному стані природи та виборі стратегії х першого гравця, функція плати задається як сума відповідних значень лінійної форми задачі та штрафу за нев’язку плану.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g[x,A(\omega),b(\omega),c(\omega)]=\sum^{n}_{j=1} c_j(\omega)x_j + \sum^{m}_{i=1} \phi_i \left[\sum^{n}_{j=1} a_{ij}(\omega)x_j-b_i(\omega)\right] \

(2.1) 

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi_i(y),(i=1,2,...,m)

– неперервна неспадна функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  y 

, що дорівнює нулю при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y \leq 0 .

У термінах теорії ігор план початкової задачі інтерпретується як чиста стратегія першого гравця. Позначимо задану множину чистих стратегій того, хто приймає рішення через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M . Множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega

станів природи визначає множину Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  N 
евклідового простору розмірності Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  mn+m+n 

, що відповідає допустимій області змін елементів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_{ij}(\omega),b_i (\omega),c_j (\omega)

умов задачі.  

Позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S

множину мішаних стратегій першого гравця, тобто множину розподілів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x
вектора Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x

, визначених на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M , а через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): T

– множину мішаних стратегій другого гравця – природи, тобто множину спільних розподілів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  F_{A,b,c} 
матриці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  A(\omega) 
та векторів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  b(\omega) 
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  c(\omega) 

, визначених на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N . У тих випадках, коли розподіл частини параметрів відомий, розглядаються лише ті мішані стратегії, в яких розподіл цих параметрів збігається з відомим. Нехай вони утворюють множину Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{T} \subset T .

У прийнятих позначеннях ігрова постановка задачі стохастичного програмування (задачі управління в умовах часткової невизначеності) може бути сформульована таким чином.

Потрібно обчистити такі мішані стратегії Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x^*\in S

та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  F_{A,b,c}^*\in \tilde{T} 

, що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_{F_x\in S} \max_{F_{A,b,c}^*\in \tilde{T}} \int_{M\times N} g(\xi,\alpha,\beta,\gamma)dF_x(\xi)dF_{A,b,c}(\alpha,\beta,\gamma) = \max_{F_{A,b,c}^*\in \tilde{T}} \min_{F_x\in S} \int_{M\times N} g(\xi,\alpha,\beta,\gamma)dF_x(\xi)dF_{A,b,c}(\alpha,\beta,\gamma)=


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =\int_{M\times N} g(\xi,\alpha,\beta,\gamma)dF_x^*(\xi)dF_{A,b,c}^*(\alpha,\beta,\gamma)

(2.2) 

При досить загальних умовах (компактності множин Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M

 та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N

) існують Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x^*\in S

та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  F_{A,b,c}^*\in \tilde{T} 

, на яких досягається розв’язок гри.


Зазвичай розглядають два крайніх випадки задачі управління в умовах часткової невизначеності: задачу вибору рішення в умовах невизначеності та задачу вибору розв’язку в умовах ризику. Перша постановка відповідає випадку, коли про спільне розподіл Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{A,b,c}

параметрів умов задачі заздалегідь нічого невідомо. У цьому випадку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  T \equiv \tilde{T} 
являє собою безліч всіляких розподілів, визначених на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  N 

, і розв’язок Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x^*

стохастичної задачі визначає, взагалі кажучи, мішану стратегію. 

В задачах управління в умовах ризику функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{A,b,c}

відома заздалегідь і множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \tilde{T} 
складається з цього єдиного елементу. Залежно від того, як обирається множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M
планів задачі, отримаємо різні постановки задач стохастичного програмування. Зокрема, якщо в якості множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  M 
взяти область 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{x: P[A(\omega)x \leq b(\omega)]\} \geq \alpha, 0\le\alpha\le1 ,

отримаємо задачу з імовірнісними обмеженнями.

Розв’язком цієї задачі є детермінований план Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x , тобто оптимальна стратегія першого гравця – чиста стратегія.

Нехай і раніше Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S

– множина мішаних стратегій першого гравця – множина допустимих розподілів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x
вектора Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x

, а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): T

– множина мішаних стратегій природи – множина розподілів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  F_{\omega} 
випадкових параметрів умов задачі. При досить загальних умовах існує розв’язок гри в мішаних стратегіях, тобто існує сідлова точка функції плати:  

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int_{X\times \Omega} g(\omega,x)dF_xdF_{\omega}


Іншими словами, існують мішані стратегії Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x^*\in S

та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  F_{A,b,c}^*\in \tilde{T} 
(Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \tilde{T} 
– множина, визначена заданими обмеженнями на допустимі мішані стратегії природи), такі, що  

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_{F_x\in S} \max_{F_{\omega}\in \tilde{T}} \int_{X\times \Omega} g(\omega,x)dF_xdF_{\omega} = \max_{F_{\omega}\in \tilde{T}} \min_{F_x\in S} \int_{X\times \Omega} g(\omega,x)dF_xdF_{\omega} = \int_{X\times \Omega} g(\omega,x)dF_x^*dF_{\omega}^*

(2.3) 


Оптимальна стратегія Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x^*

першого гравця являє собою апріорний розв’язувальний розподіл задачі стохастичного програмування в ігровій постановці.  

Особливий інтерес, природно, викликають випадки, коли можна отримати розв’язок в чистих стратегіях.


Теорема 2.1. Нехай непорожня множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{T}

опукла та слабкокомпактна, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \phi_i, i=1,...,m. 
опуклі, а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \psi_0(\omega,x) 
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \phi_i[\psi_i(\omega,x)], i=1,...,m. 
рівномірно (по Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  F_{\omega}\in \tilde{T} 

) інтегровані для всіх Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\in X = \{x\geq0\} . Тоді

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_{x\in X} \max_{F_{\omega}\in \tilde{T}} \int_{\Omega} g(\omega,x)dF_{\omega} = \max_{F_{\omega}\in \tilde{T}} \min_{x\in X} \int_{\Omega} g(\omega,x)dF_{\omega} = \int_{\Omega} g(\omega,x^*)dF_{\omega}^*



Оптимальна чиста стратегія Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^*

першого гравця являє собою апріорне розв’язувальне правило задачі стохастичного програмування в ігровій постановці [1, c. 136-138]. 


Список використаних джерел

1. Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. / Юдин Д. Б. М: «Сов. радио», 1974. – 400 с.


Виконала: Іванченко Олександра