Відмінності між версіями «Задача СП: М-модель з імовірнісними обмеженнями з випадковою матрицею коефіцієнтів обмежень. Незалежні корельовані умови обмеження.»
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
| − | Відмовимося тепер від умови детермінованості матриці А в [[Задача СП. М-модель з імовірнісними обмеженнями з детермінованою матрицею коефіцієнтів обмежень. Детермінована задача. Двоїста задача.|задачі (1.1)-(1.3)]]. Нехай елементи матриці А та складові вектора ''b'' – незалежні між собою нормально розподілені випадкові величини. | + | <font size=3> Відмовимося тепер від умови детермінованості матриці ''А'' в [[Задача СП. М-модель з імовірнісними обмеженнями з детермінованою матрицею коефіцієнтів обмежень. Детермінована задача. Двоїста задача.|задачі (1.1)-(1.3)]]. Нехай елементи матриці ''А'' та складові вектора ''b'' – незалежні між собою нормально розподілені випадкові величини. </font> |
| − | Запис <math>a_{ij}\in N(\bar{a}_{ij},\sigma^2_{ij})</math>, <math>b_{i}\in N(\bar{b}_{i},\vartheta^2_{i})</math> означає що <math>a_{ij}</math> | + | <font size=3> Запис <math>a_{ij}\in N(\bar{a}_{ij},\sigma^2_{ij})</math>, <math>b_{i}\in N(\bar{b}_{i},\vartheta^2_{i})</math> означає, що <math>a_{ij}</math> (відповідно <math>b_{i}</math>) - нормально розподілені випадкові величини з математичним сподіваннями <math>\bar{a}_{ij}</math> (відповідно <math>\bar{b}_{i}</math>) та дисперсіями <math>\vartheta^2_{i}</math> (відповідно <math> \sigma^2_{ij}</math>). </font> |
| − | Нехай крім того | + | <font size=3> Нехай крім того, </font> |
| − | <math>\ | + | <font size=3> <math>\alpha_{i}\geqslant 0,5,i=1,\ldots,m </math>. </font> |
| − | При зроблених припущеннях лінійна стохастична задача (1.1)-(1.3), розв'язок якої визначається в розв’язувальних правилах нульового порядку, зводиться до детермінованої задачі | + | <font size=3> При зроблених припущеннях [[Задача СП. М-модель з імовірнісними обмеженнями з детермінованою матрицею коефіцієнтів обмежень. Детермінована задача. Двоїста задача.|лінійна стохастична задача(1.1)-(1.3)]], розв'язок якої визначається в розв’язувальних правилах нульового порядку, зводиться до детермінованої задачі опуклого програмування з лінійною цільовою функцією та квадратичними обмеженнями. </font> |
| − | Дійсно, при прийнятих припущеннях нев’язка ''і''- | + | <font size=3> Дійсно, при прийнятих припущеннях нев’язка ''і''-ої умови – випадкова величина </font> |
| − | <math>\delta_{i} = \sum^{n}_{j=1}{a_{ij}x_{j}}- b_{i}</math> | + | <font size=3> <math>\delta_{i} = \sum^{n}_{j=1}{a_{ij}x_{j}}- b_{i}</math> </font> |
| − | є нормально розподіленою величиною з математичним сподіванням | + | <font size=3> є нормально розподіленою величиною з математичним сподіванням </font> |
| − | <math>\ | + | <font size=3> <math>\overline{\delta_{i}(x)} = \sum^{n}_{j=1}\bar{a}_{ij}x_{j}- \bar{b}_{i}</math> </font> |
| − | + | <font size=3> та дисперсією </font> | |
| − | <math> \sigma^2_{i}(x)= \sum^{n}_{j=1}\sigma^2_{ij}x^2_{j}+ \vartheta^2_{i}</math> | + | <font size=3> <math> \sigma^2_{i}(x)= \sum^{n}_{j=1}\sigma^2_{ij}x^2_{j}+ \vartheta^2_{i}</math>, </font> |
| − | тобто | + | <font size=3> тобто </font> |
| − | <math>\delta_{i}(x)\in N(\ | + | <font size=3> <math>\delta_{i}(x)\in N(\overline{\delta_{i}(x)},\sigma^2_{i}(x))</math>. </font> |
| − | Співвідношення (1.2) еквівалентні нерівностям | + | <font size=3> Співвідношення (1.2) еквівалентні нерівностям </font> |
| − | <math>P(\delta_{i}(x)\leqslant0)\geqslant\alpha_{i}</math> , <math>i=1,\ldots,m</math>, | + | <font size=3> <math>P(\delta_{i}(x)\leqslant0)\geqslant\alpha_{i}</math> , <math>i=1,\ldots,m</math>, </font> |
| − | + | <font size=3> або, в нашому випадку те саме </font> | |
| − | <math>\ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma_{i}(x)} \int\limits_{\infty}^{0} e^{ | + | <font size=3> <math>\ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma_{i}(x)} \int\limits_{\infty}^{0} e^{-\frac{\xi-\bar{\delta}_{i}(x))^2}{2\sigma^2_{i}(x)}}d\xi \geqslant\alpha_{i} </math>, <math>i=1,\ldots,m</math>,. </font> |
| − | Позначивши | + | <font size=3> Позначивши </font> |
| − | <math>\ \Phi(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_\infty^0 e^{-\xi^2/2}d\xi </math> - | + | <font size=3> <math>\ \Phi(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_\infty^0 e^{-\xi^2/2}d\xi </math> - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_ошибок функція Лапласа], </font> |
| + | <font size=3> перепишемо останню нерівність у вигляді </font> | ||
| − | + | <font size=3> <math>\Phi(-\bar{\delta}_{i}(x)/\sigma_{i}(x))\geqslant\alpha_{i}</math>, </font> | |
| − | <math>\Phi(-\bar{\ | + | <math>\Phi(-\bar{\delta}_{i}(x)/\sigma_{i}(x))\geqslant\alpha_{i}</math> |
| − | Або те саме , що | + | <font size=3> Або те саме , що </font> |
| − | <math>\bar{\delta_{i}(x)}+\Phi^{-1}(\alpha_{i}\sigma_{i}(x))\leqslant 0</math>. | + | <font size=3> <math>\bar{\delta_{i}(x)}+\Phi^{-1}(\alpha_{i}\sigma_{i}(x))\leqslant 0</math>. </font> |
| − | Враховуючи вирази для <math>\bar{\delta_{i}(x)}</math> та <math>\sigma_{i}(x)</math> отримаємо | + | <font size=3> Враховуючи вирази для <math>\bar{\delta_{i}(x)}</math> та <math>\sigma_{i}(x)</math> отримаємо </font> |
| − | <math>\Phi^{-1}(\alpha_{i})(\sum^{n}_{j=1}\sigma^2_{ij}x^2_{j}+ \vartheta^2_{i})^{1/2})\leqslant \bar{b_{i}}-\sum^{n}_{j=1}\bar{a_{ij}x_{j}}</math>, <math>i=1,\ldots,m</math>. | + | <font size=3> <math>\Phi^{-1}(\alpha_{i})(\sum^{n}_{j=1}\sigma^2_{ij}x^2_{j}+ \vartheta^2_{i})^{1/2})\leqslant \bar{b_{i}}-\sum^{n}_{j=1}\bar{a_{ij}x_{j}}</math>, <math>i=1,\ldots,m</math>. |
| − | (1.12) | + | (1.12) </font> |
| − | + | <font size=3> За умовою <math>\alpha_{i}\geqslant 0,5</math>. В цьому випадку <math>\Phi^{-1}(\alpha_{i})\geqslant 0</math> , і область, обмежена умовами (1.12) – опукла. </font> | |
| − | Аналогічний результат | + | <font size=3> Аналогічний результат отримауться і тоді, коли випадкові елементи умови – рядки, корельовані між собою. </font> |
| − | Ведемо позначення | + | <font size=3> Ведемо позначення </font> |
| − | <math>\upsilon_{ij}= M((b_{i}-\bar{b_{i}})(a_{ij}-\bar{a_{ij}}))</math>, <math>\upsilon_{ijk}= M((a_{ij}-\bar{a_{ij}})(a_{ik}-\bar{a_{ik}}))</math>. | + | <font size=3> <math>\upsilon_{ij}= M((b_{i}-\bar{b_{i}})(a_{ij}-\bar{a_{ij}}))</math>, <math>\upsilon_{ijk}= M((a_{ij}-\bar{a_{ij}})(a_{ik}-\bar{a_{ik}}))</math>. </font> |
| − | Міркуючи як і раніше отримаємо при <math>\alpha_{i}\geqslant 0,5</math> | + | <font size=3> Міркуючи як і раніше, отримаємо при <math>\alpha_{i}\geqslant 0,5</math> </font> |
| − | <math>\Phi^{-1}(\alpha_{i})(\sum_{jk}\upsilon_{ijk}x_{j}x_{k}+2\sum_{j}\upsilon_{ij}x_{j}+ \vartheta^2_{i})^{1/2})\leqslant \bar{b_{i}}-\sum_{j}\bar{a_{ij}x_{j}}</math> | + | <font size=3> <math>\Phi^{-1}(\alpha_{i})(\sum_{jk}\upsilon_{ijk}x_{j}x_{k}+2\sum_{j}\upsilon_{ij}x_{j}+ \vartheta^2_{i})^{1/2})\leqslant \bar{b_{i}}-\sum_{j}\bar{a_{ij}x_{j}}</math> |
| − | (1.13) | + | (1.13) </font> |
| − | <math>i=1,\ldots,m</math>. | + | <font size=3> <math>i=1,\ldots,m</math>. </font> |
| − | Додатня визначеність форми <math>\sum_{jk}\upsilon_{ijk}x_{j}x_{k}</math> гарантує | + | <font size=3> Додатня визначеність форми <math>\sum_{jk}\upsilon_{ijk}x_{j}x_{k}</math> гарантує опуклість форми, обмеженої умовами (1.13). </font> |
| − | Таким чином при прийнятих припущеннях лінійна стохастична задача (1.1)-(1.3) з ймовірнісними обмеженнями зводиться до детермінованої задачі | + | <font size=3> Таким чином, при прийнятих припущеннях лінійна стохастична задача (1.1)-(1.3) з ймовірнісними обмеженнями зводиться до детермінованої задачі опуклого програмування з лінійною цільовою функцією та квадратичними умовами-нерівностями: </font> |
| − | <math>\sum^{n}_{j=1}\bar{c_{j}}\rightarrow max</math>, | + | <font size=3> <math>\sum^{n}_{j=1}\bar{c_{j}}\rightarrow max</math>, |
| − | (1.14) | + | (1.14) </font> |
| − | <math>\Phi^{-1}(\alpha_{i})(\sum_{jk}\upsilon_{ijk}x_{j}x_{k}+2\sum_{j}\upsilon_{ij}x_{j}+ \vartheta^2_{i})^{1/2})\leqslant \bar{b_{i}}-\sum_{j}\bar{a_{ij}x_{j}}</math> | + | <font size=3> <math>\Phi^{-1}(\alpha_{i})(\sum_{jk}\upsilon_{ijk}x_{j}x_{k}+2\sum_{j}\upsilon_{ij}x_{j}+ \vartheta^2_{i})^{1/2})\leqslant \bar{b_{i}}-\sum_{j}\bar{a_{ij}x_{j}}</math> </font> |
| − | <math>i=1,\ldots,m</math> | + | <font size=3> <math>i=1,\ldots,m</math> |
| − | (1.15) | + | (1.15) </font> |
| − | <math>x_{j}\geqslant 0</math>, <math>j=1,\ldots,n</math> | + | <font size=3> <math>x_{j}\geqslant 0</math>, <math>j=1,\ldots,n</math> |
| − | (1.16). | + | (1.16). </font> |
Версія за 12:12, 2 червня 2017
Відмовимося тепер від умови детермінованості матриці А в задачі (1.1)-(1.3). Нехай елементи матриці А та складові вектора b – незалежні між собою нормально розподілені випадкові величини.
Запис Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_{ij}\in N(\bar{a}_{ij},\sigma^2_{ij}) , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}\in N(\bar{b}_{i},\vartheta^2_{i})
означає, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_{ij}
(відповідно Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}
) - нормально розподілені випадкові величини з математичним сподіваннями Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{a}_{ij}
(відповідно Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{b}_{i}
) та дисперсіями Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \vartheta^2_{i}
(відповідно Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma^2_{ij}
).
Нехай крім того,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_{i}\geqslant 0,5,i=1,\ldots,m .
При зроблених припущеннях лінійна стохастична задача(1.1)-(1.3), розв'язок якої визначається в розв’язувальних правилах нульового порядку, зводиться до детермінованої задачі опуклого програмування з лінійною цільовою функцією та квадратичними обмеженнями.
Дійсно, при прийнятих припущеннях нев’язка і-ої умови – випадкова величина
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \delta_{i} = \sum^{n}_{j=1}{a_{ij}x_{j}}- b_{i}
є нормально розподіленою величиною з математичним сподіванням
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \overline{\delta_{i}(x)} = \sum^{n}_{j=1}\bar{a}_{ij}x_{j}- \bar{b}_{i}
та дисперсією
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma^2_{i}(x)= \sum^{n}_{j=1}\sigma^2_{ij}x^2_{j}+ \vartheta^2_{i} ,
тобто
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \delta_{i}(x)\in N(\overline{\delta_{i}(x)},\sigma^2_{i}(x)) .
Співвідношення (1.2) еквівалентні нерівностям
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(\delta_{i}(x)\leqslant0)\geqslant\alpha_{i}
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,\ldots,m
,
або, в нашому випадку те саме
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma_{i}(x)} \int\limits_{\infty}^{0} e^{-\frac{\xi-\bar{\delta}_{i}(x))^2}{2\sigma^2_{i}(x)}}d\xi \geqslant\alpha_{i} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,\ldots,m ,.
Позначивши
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \Phi(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_\infty^0 e^{-\xi^2/2}d\xi
- функція Лапласа,
перепишемо останню нерівність у вигляді
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Phi(-\bar{\delta}_{i}(x)/\sigma_{i}(x))\geqslant\alpha_{i} ,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Phi(-\bar{\delta}_{i}(x)/\sigma_{i}(x))\geqslant\alpha_{i}
Або те саме , що
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{\delta_{i}(x)}+\Phi^{-1}(\alpha_{i}\sigma_{i}(x))\leqslant 0 .
Враховуючи вирази для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{\delta_{i}(x)}
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma_{i}(x)
отримаємо
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Phi^{-1}(\alpha_{i})(\sum^{n}_{j=1}\sigma^2_{ij}x^2_{j}+ \vartheta^2_{i})^{1/2})\leqslant \bar{b_{i}}-\sum^{n}_{j=1}\bar{a_{ij}x_{j}} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,\ldots,m . (1.12)
За умовою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_{i}\geqslant 0,5 . В цьому випадку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Phi^{-1}(\alpha_{i})\geqslant 0
, і область, обмежена умовами (1.12) – опукла.
Аналогічний результат отримауться і тоді, коли випадкові елементи умови – рядки, корельовані між собою.
Ведемо позначення
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \upsilon_{ij}= M((b_{i}-\bar{b_{i}})(a_{ij}-\bar{a_{ij}})) , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \upsilon_{ijk}= M((a_{ij}-\bar{a_{ij}})(a_{ik}-\bar{a_{ik}})) .
Міркуючи як і раніше, отримаємо при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_{i}\geqslant 0,5
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Phi^{-1}(\alpha_{i})(\sum_{jk}\upsilon_{ijk}x_{j}x_{k}+2\sum_{j}\upsilon_{ij}x_{j}+ \vartheta^2_{i})^{1/2})\leqslant \bar{b_{i}}-\sum_{j}\bar{a_{ij}x_{j}}
(1.13)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,\ldots,m .
Додатня визначеність форми Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{jk}\upsilon_{ijk}x_{j}x_{k}
гарантує опуклість форми, обмеженої умовами (1.13).
Таким чином, при прийнятих припущеннях лінійна стохастична задача (1.1)-(1.3) з ймовірнісними обмеженнями зводиться до детермінованої задачі опуклого програмування з лінійною цільовою функцією та квадратичними умовами-нерівностями:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{n}_{j=1}\bar{c_{j}}\rightarrow max , (1.14)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Phi^{-1}(\alpha_{i})(\sum_{jk}\upsilon_{ijk}x_{j}x_{k}+2\sum_{j}\upsilon_{ij}x_{j}+ \vartheta^2_{i})^{1/2})\leqslant \bar{b_{i}}-\sum_{j}\bar{a_{ij}x_{j}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,\ldots,m
(1.15)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{j}\geqslant 0 , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): j=1,\ldots,n
(1.16).
