Відмінності між версіями «Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами»
| Рядок 14: | Рядок 14: | ||
[[Файл:4www.png ]] | [[Файл:4www.png ]] | ||
| + | |||
| + | вихідних диференціальних рівнянь замінюються на z^k. Розв'язок алгебраїчного рівняння дає n значень z_1, z_2, ...z_n . Підстановка будь-якого з цих значень z в zx дає розв'язок e^{zx} Оскільки однорідні лінійні диференціальні рівняння підпорядковані принципу суперпозиції, будь-яка лінійна комбінація цих функцій також задовольняє дане диференціальне рівняння. | ||
| + | |||
| + | Коли всі корені різні, ми маємо n різних розв'язків диференціального рівняння. Застосовуючи визначник Вандермонда, можна показати, що вони лінійно незалежні і разом утворюють базис в просторі всіх розв'язків диференціального рівняння. | ||
| + | |||
| + | Вищесказане дає розв'язок в разі, коли всі корені різні, тобто кожен з них має кратність 1. У загальному випадку, якщо z (можливо, комплексний) нуль (=корінь) Р(x), що має кратність m, то y=x^ke^{zx} \, є розв'язками ЛОР (де k\in\{0,1,\dots,m-1\} \,). Застосування цього до всіх коренів дає набір з n різних і лінійно незалежних функцій, де n-степінь F(x). Як і раніше, ці функції утворюють базис простору розв'язків. | ||
| + | |||
| + | Якщо коефіцієнти диференціального рівняння дійсні, то перевагу віддаємо дійснозначним розв'язкам. Оскільки комплексні (не дійсні) корені сполучені в пари спряжених, як і відповідні базисні функції, xkezx, то бажаний результат одержимо заміною кожної пари дійсною лінійною комбінацією з Re(y) і Im(y), де y — одна з функцій пари. | ||
| + | |||
| + | Випадки, що включають комплексні корені, можуть бути розглянуті за допомогою формули Ейлера. | ||
Версія за 20:55, 31 травня 2014
Історично перший метод розв'язування звичайних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами пов'язаний з іменем Ейлера, який зрозумів, що розв'язки мають вигляд e^{zx}, де z,- (в загальному випадку)-комплексні значення z. Щоб сума кількох похідних функції дорівнювала нулю, похідні повинні врівноважувати одна одну, тож єдиний спосіб досягнути цього - похідні мусять мати ту ж форму, що й вихідна функція. Міркуючи так, для розв'язання
покладемо y=e^{zx}, що дає
Діленням на e^{zx} многочлен n-го порядку
Формально, члени
вихідних диференціальних рівнянь замінюються на z^k. Розв'язок алгебраїчного рівняння дає n значень z_1, z_2, ...z_n . Підстановка будь-якого з цих значень z в zx дає розв'язок e^{zx} Оскільки однорідні лінійні диференціальні рівняння підпорядковані принципу суперпозиції, будь-яка лінійна комбінація цих функцій також задовольняє дане диференціальне рівняння.
Коли всі корені різні, ми маємо n різних розв'язків диференціального рівняння. Застосовуючи визначник Вандермонда, можна показати, що вони лінійно незалежні і разом утворюють базис в просторі всіх розв'язків диференціального рівняння.
Вищесказане дає розв'язок в разі, коли всі корені різні, тобто кожен з них має кратність 1. У загальному випадку, якщо z (можливо, комплексний) нуль (=корінь) Р(x), що має кратність m, то y=x^ke^{zx} \, є розв'язками ЛОР (де k\in\{0,1,\dots,m-1\} \,). Застосування цього до всіх коренів дає набір з n різних і лінійно незалежних функцій, де n-степінь F(x). Як і раніше, ці функції утворюють базис простору розв'язків.
Якщо коефіцієнти диференціального рівняння дійсні, то перевагу віддаємо дійснозначним розв'язкам. Оскільки комплексні (не дійсні) корені сполучені в пари спряжених, як і відповідні базисні функції, xkezx, то бажаний результат одержимо заміною кожної пари дійсною лінійною комбінацією з Re(y) і Im(y), де y — одна з функцій пари.
Випадки, що включають комплексні корені, можуть бути розглянуті за допомогою формули Ейлера.
