Відмінності між версіями «Приклади однорідних диференціальних рівнянь;»

Версія за 01:17, 22 травня 2014

Приклади однорідних диференціальних рівнянь

Простий гармонічний осцилятор

Диференціальне рівняння другого порядку

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): D^2 y = -k^2 y,

що описує простий гармонічний осцилятор, можна переформулювати

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (D^2 + k^2) y = 0 .

Вираз в дужках може бути факторизований, що дає

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (D + i k) (D - i k) y = 0 ,

це рівняння має пару лінійно незалежних розв'язків, один для

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (D - i k) y = 0 \,

інший для

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (D + i k) y = 0 .

Розв'язки, відповідно,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_0 = A_0 e^{i k x}

та

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_1 = A_1 e^{-i k x} .

Ці розв'язки є базисом двовимірного «простору розв'язків» диференціального рівняння другого порядку. Крім того,для

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{0'} = {A_0 e^{i k x} + A_1 e^{-i k x} \over 2} = C_0 \cos (k x)

та

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{1'} = {A_0 e^{i k x} - A_1 e^{-i k x} \over 2 i} = C_1 \sin (k x) .

-останні тригонометричні розв'язки лінійно незалежні, а тому можуть слугувати іншим базисом простору розв'язків, що дає таку загальну форму розв'язку:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_H = C_0 \cos (k x) + C_1 \sin (k x) .

Затухаючий гармонічний осцилятор

Враховуючи рівняння затухаючого гармонічного осцилятора:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left(D^2 + {b \over m} D + \omega_0^2\right) y = 0 ,

отримаємо спочатку характеристичне рівняння формальною заміною D на λ. Це рівняння має виконуватися для всіх у, наступним чином:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda^2 + {b \over m} \lambda + \omega_0^2 = 0 .

Розв'яжемо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda = {-b/m \pm \sqrt{b^2 / m^2 - 4 \omega_0^2} \over 2} .

Використаємо ці дані для розкладу вихідного диференціального рівняння:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left(D + {b \over 2 m} - \sqrt{{b^2 \over 4 m^2} - \omega_0^2} \right) \left(D + {b \over 2m} + \sqrt{{b^2 \over 4 m^2} - \omega_0^2}\right) y = 0 .

Це визначає пару рішень, з яких одне відповідає

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left(D + {b \over 2 m} - \sqrt{{b^2 \over 4 m^2} - \omega_0^2} \right) y = 0

а інше

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left(D + {b \over 2m} + \sqrt{{b^2 \over 4 m^2} - \omega_0^2}\right) y = 0

Розв'язки, відповідно,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_0 = A_0 e^{-\omega x + \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} = A_0 e^{-\omega x} e^{\sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x}

та

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_1 = A_1 e^{-\omega x - \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} = A_1 e^{-\omega x} e^{-\sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x}

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ω = B / 2

. З цієї пари лінійно незалежних рішень можна побудувати іншу лінійно незалежну пару, що таким чином, слугуватиме базисом для двовимірного простору рішень:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_H (A_0, A_1) (x) = \left(A_0 \sinh \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x + A_1 \cosh \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x\right) e^{-\omega x} .

Однак, якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): | ω | <| ω 0 | , то бажано позбутися уявних частин, виражаючи загальний розв'язок як

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_H (A_0, A_1) (x) = \left(A_0 \sin \sqrt{\omega_0^2 - \omega^2} x + A_1 \cos \sqrt{\omega_0^2 - \omega^2} x\right) e^{-\omega x} .

Останній розв'язок відповідає слабко затухаючому випадку, тоді як попередній відповідає сильно затухаючому разі: розв'язок для слабко загальмованого випадку коливатиметься, а для розв'язку сильно загальмованого випадку це не так.