Відмінності між версіями «Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами;»
Lilit (обговорення • внесок) (→Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами) |
Lilit (обговорення • внесок) |
||
| Рядок 10: | Рядок 10: | ||
<p align=center><math> y^{(k)}\quad\quad(k = 1, 2, \dots, n).</math></p> | <p align=center><math> y^{(k)}\quad\quad(k = 1, 2, \dots, n).</math></p> | ||
вихідних диференціальних рівнянь замінюються на <math>z^k</math>. Розв'язок алгебраїчного рівняння дає n значень <math>z_1, z_2, ...z_n</math>. Підстановка будь-якого з цих значень <math>z</math> в <math>zx</math> дає розв'язок <math>e^{zx}</math>. Оскільки однорідні лінійні диференціальні рівняння підпорядковані принципу суперпозиції, будь-яка лінійна комбінація цих функцій також задовольняє дане диференціальне рівняння. | вихідних диференціальних рівнянь замінюються на <math>z^k</math>. Розв'язок алгебраїчного рівняння дає n значень <math>z_1, z_2, ...z_n</math>. Підстановка будь-якого з цих значень <math>z</math> в <math>zx</math> дає розв'язок <math>e^{zx}</math>. Оскільки однорідні лінійні диференціальні рівняння підпорядковані принципу суперпозиції, будь-яка лінійна комбінація цих функцій також задовольняє дане диференціальне рівняння. | ||
| − | + | ||
| − | + | Коли всі корені різні, ми маємо n різних розв'язків диференціального рівняння. Застосовуючи ''[[визначник Вандермонда]]'', можна показати, що вони лінійно незалежні і разом утворюють базис в просторі всіх розв'язків диференціального рівняння. | |
| − | + | ||
| − | :Випадки, що включають комплексні корені, можуть бути розглянуті за допомогою формули Ейлера. | + | Вищесказане дає розв'язок в разі, коли всі корені різні, тобто кожен з них має кратність 1. У загальному випадку, якщо <math>z</math> (можливо, комплексний) нуль (=корінь)<math> Р(x)</math>, що має кратність m, то <math>y=x^ke^{zx}</math>, є розв'язками ЛОР (де <math>k\in\{0,1,\dots,m-1\} \,</math>). Застосування цього до всіх коренів дає набір з n різних і лінійно незалежних функцій, де n-степінь<math> F(x)</math>. Як і раніше, ці функції утворюють базис простору розв'язків. |
| + | |||
| + | Якщо коефіцієнти диференціального рівняння дійсні, то перевагу віддаємо дійснозначним розв'язкам. Оскільки комплексні (не дійсні) корені сполучені в пари спряжених, як і відповідні базисні функції, <math>xkezx</math>, то бажаний результат одержимо заміною кожної пари дійсною лінійною комбінацією з <math>Re(y)</math> і <math>Im(y)</math>, де y — одна з функцій пари. | ||
| + | :Випадки, що включають комплексні корені, можуть бути розглянуті за допомогою ''[[формули Ейлера]]''. | ||
Версія за 00:02, 22 травня 2014
Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами
Історично перший метод розв'язування звичайних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами пов'язаний з іменем Ейлера, який зрозумів, що розв'язки мають вигляд Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): e^{zx} , де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z - (в загальному випадку)-комплексні значення z. Щоб сума кількох похідних функції дорівнювала нулю, похідні повинні врівноважувати одна одну, тож єдиний спосіб досягнути цього - похідні мусять мати ту ж форму, що й вихідна функція. Міркуючи так, для розв'язання
покладемо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y=e^{zx} , що дає
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0.
Діленням на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): e^{zx}
многочлен n-го порядку
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0.\,
Це алгебраїчне рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(t)=0 , характеристичне рівняння, було розглянуто пізніше Ґаспаром Монжем і Оґюстеном-Луї Коші. Формально, члени
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y^{(k)}\quad\quad(k = 1, 2, \dots, n).
вихідних диференціальних рівнянь замінюються на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^k . Розв'язок алгебраїчного рівняння дає n значень Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z_1, z_2, ...z_n . Підстановка будь-якого з цих значень Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z
в Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): zx
дає розв'язок Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): e^{zx}
. Оскільки однорідні лінійні диференціальні рівняння підпорядковані принципу суперпозиції, будь-яка лінійна комбінація цих функцій також задовольняє дане диференціальне рівняння.
Коли всі корені різні, ми маємо n різних розв'язків диференціального рівняння. Застосовуючи визначник Вандермонда, можна показати, що вони лінійно незалежні і разом утворюють базис в просторі всіх розв'язків диференціального рівняння.
Вищесказане дає розв'язок в разі, коли всі корені різні, тобто кожен з них має кратність 1. У загальному випадку, якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z
(можливо, комплексний) нуль (=корінь)Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Р(x)
, що має кратність m, то Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y=x^ke^{zx} , є розв'язками ЛОР (де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k\in\{0,1,\dots,m-1\} \, ). Застосування цього до всіх коренів дає набір з n різних і лінійно незалежних функцій, де n-степіньНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(x) . Як і раніше, ці функції утворюють базис простору розв'язків.
Якщо коефіцієнти диференціального рівняння дійсні, то перевагу віддаємо дійснозначним розв'язкам. Оскільки комплексні (не дійсні) корені сполучені в пари спряжених, як і відповідні базисні функції, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): xkezx , то бажаний результат одержимо заміною кожної пари дійсною лінійною комбінацією з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Re(y)
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Im(y)
, де y — одна з функцій пари.
- Випадки, що включають комплексні корені, можуть бути розглянуті за допомогою формули Ейлера.
