Відмінності між версіями «Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами;»
Lilit (обговорення • внесок) |
Lilit (обговорення • внесок) |
||
| Рядок 3: | Рядок 3: | ||
<p align=center>[[Файл:770.png]]</p> | <p align=center>[[Файл:770.png]]</p> | ||
покладемо <math>y=e^{zx}</math>, що дає | покладемо <math>y=e^{zx}</math>, що дає | ||
| − | + | <p align=center><math>z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0. </math></p> | |
| − | + | ||
| − | </math> | + | |
Діленням на e^{zx} многочлен n-го порядку | Діленням на e^{zx} многочлен n-го порядку | ||
Версія за 23:48, 21 травня 2014
Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами
Історично перший метод розв'язування звичайних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами пов'язаний з іменем Ейлера, який зрозумів, що розв'язки мають вигляд Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): e^{zx} , де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z - (в загальному випадку)-комплексні значення z. Щоб сума кількох похідних функції дорівнювала нулю, похідні повинні врівноважувати одна одну, тож єдиний спосіб досягнути цього - похідні мусять мати ту ж форму, що й вихідна функція. Міркуючи так, для розв'язання
покладемо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y=e^{zx} , що дає
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0.
Діленням на e^{zx} многочлен n-го порядку
F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0.\,
Це алгебраїчне рівняння F(t)=0, характеристичне рівняння, було розглянуто пізніше Ґаспаром Монжем і Оґюстеном-Луї Коші.
Формально, члени
y^{(k)}\quad\quad(k = 1, 2, \dots, n).
