Відмінності між версіями «Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами;»
Lilit (обговорення • внесок) (→Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами) |
Lilit (обговорення • внесок) |
||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
== <p align=center>'''Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами'''</p> == | == <p align=center>'''Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами'''</p> == | ||
| − | Історично перший метод розв'язування звичайних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами пов'язаний з іменем Ейлера, який зрозумів, що розв'язки мають вигляд <math> | + | Історично перший метод розв'язування звичайних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами пов'язаний з іменем Ейлера, який зрозумів, що розв'язки мають вигляд <math>e^{zx}</math>, де <math>z</math>- (в загальному випадку)-комплексні значення z. Щоб сума кількох похідних функції дорівнювала нулю, похідні повинні врівноважувати одна одну, тож єдиний спосіб досягнути цього - похідні мусять мати ту ж форму, що й вихідна функція. Міркуючи так, для розв'язання |
| + | <p align=center>[[Файл:770.png]]</p> | ||
| + | покладемо <math>y=e^{zx}</math>, що дає | ||
| + | |||
| + | <math>z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0. | ||
| + | </math> | ||
| + | Діленням на e^{zx} многочлен n-го порядку | ||
| + | |||
| + | F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0.\, | ||
| + | |||
| + | Це алгебраїчне рівняння F(t)=0, характеристичне рівняння, було розглянуто пізніше Ґаспаром Монжем і Оґюстеном-Луї Коші. | ||
| + | |||
| + | Формально, члени | ||
| + | |||
| + | y^{(k)}\quad\quad(k = 1, 2, \dots, n). | ||
Версія за 23:47, 21 травня 2014
Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами
Історично перший метод розв'язування звичайних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами пов'язаний з іменем Ейлера, який зрозумів, що розв'язки мають вигляд Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): e^{zx} , де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z - (в загальному випадку)-комплексні значення z. Щоб сума кількох похідних функції дорівнювала нулю, похідні повинні врівноважувати одна одну, тож єдиний спосіб досягнути цього - похідні мусять мати ту ж форму, що й вихідна функція. Міркуючи так, для розв'язання
покладемо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y=e^{zx} , що дає
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0.
Діленням на e^{zx} многочлен n-го порядку
F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0.\,
Це алгебраїчне рівняння F(t)=0, характеристичне рівняння, було розглянуто пізніше Ґаспаром Монжем і Оґюстеном-Луї Коші.
Формально, члени
y^{(k)}\quad\quad(k = 1, 2, \dots, n).
