Відмінності між версіями «Детермінована задача, еквівалентна до двохетапної задачі СП.»

Версія за 21:09, 22 березня 2014

Побудуємо детерміновану задачу, еквівалентну до двохетапної задачі стохастичного програмування.

Розв'язком еквівалентної задачі є попередній план Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x . По складовим оптимального попереднього плану і реалізаціям параметрів умов будується задача другого етапу - задача лінійного програмування, розв'язок якої визначає необхідну компенсацію плану. Еквівалентна детермінована задача має вигляд Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_{x\in K}Q(x)

Дотепер ми вивчали область визначення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ K

попередніх планів двохетапної задачі. Дослідимо тепер цільовий функціонал Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x) 
- показник якості попереднього плану. 

Виразимо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x)

через статистичні характеристики параметрів умов задачі і доведемо, що детермінована задача, еквівалентна задачі СП, є задачею опуклого програмуваня. 

Розглянемо задачу другого етапу

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(x, A, b)=\min_{\ y}q(y) (3.4)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ {By=b-Ax} (3.5) ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y \geqslant 0 (3.6)

та двоїсту до неї

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x, A, b)=\max_{\ z}z(b-Ax) (3.8)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): zB \leqslant q

(3.9)

для кожного Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x, A, b .

Будемо вважати, що задача другого етапу, а отже, і двоїста до неї задачі розв'язні.

За теоремою двоїстості для лінійного програмування

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ P(x, A, b)= Q(x, A, b)= z*(A, b, x)(b-Ax) ,

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z*(A, b, x)

- розв'язок задачі (3.8)-(3.9).

Враховуючи введені позначення, можна тепер двохетапну задачу (1.8)-(1.10) переписати наступним чином:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_{x\in K}Q(x)=\min_{x\in K}{\bar{c}x+MQ(x, A, b)}

або

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{c}x+M[z*(A, b, x)(b-Ax)]\rightarrow min,

(4.1)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x \in K

Має місце твердження.

Теорема 4.1. Нехай матриця Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ B

задовольняє умовам теореми 3.3 і множина планів задачі (3.8)-(3.90) не порожня. Тоді цільова функція (4.1) еквівалентної детермінованої задачі скінченна для будь-якого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  x \in K_2

.

Наступне твердження є теоретичною основою для побудови чисельних методів розв'язання двохетапної задачі.

Теорема 4.2. Детермінована задача (4.1)-(4.2), еквівалентна двохетапній задачі (1.8)-(1.10), є задачею опуклого програмування.

Зауважимо, що з опуклості функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x)

випливає її неперервність у всіх внутрішніх точках опуклої множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ K 

.

Для побудови методів розв'язання двохетапної задачі доцільно знайти вираз для опорного функціоналу до Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x)

і встановити умови диференційованості Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x) 

.

Нагадаємо, що лінійний функціонал Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ l

називається опорним для опуклого вниз функціоналу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \phi 
(\lambda)</math> (субградієнтом до Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \phi 
(\lambda)</math>) у точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \lambda_0 \in \Lambda

при всіх Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \lambda \in \Lambda 

.

Теорема 4.3. Функціонал

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M{c-z^*(A, b, x_0)A}=\int\limits_{\Omega}{c(\omega)-z^*[A(\omega), b(\omega), x_0]A(\omega)}dp

є опорним до цільового функціоналу (4.1) еквівалентної детермінованої задачі у точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_0 \in K .

Доведення. Функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z^*(A, b, x)

за означенням є розв'язком задачі (3.8)-(3.9) для заданого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  x \in K
і фіксованого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ A 
i Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ b 

. Звідси,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): cx+z^*(A, b, x)(b-Ax) \geq cx+z^*(a, b, x_0)(b-Ax) ,

або, що те ж саме,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [c-z^*(A, b, x)A]x+z^*(A, b, x)b \geq [c-z^*(A, b, x)A]x+z^*(A, b, x_0)b .

За означенням

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x)=\bar{c}x+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x)(b-Ax)dp .

Тому з останньої рівності випливає, що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x) \geq \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]xdp+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x_0)bdp .

З іншої сторони,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x_0) = \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]x_0dp+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x_0)bdp .

Звідси випливає, що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x)-Q(x_0)\geq \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]xdp \cdot (x-x_0) , (4.3)

що й треба було довести.

Якщо виконуються умови теореми 4.1 і ймовірнісна міра у просторі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ A , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ b

абсолютно неперервні відносно міри Лебега у просторі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ A 

еквівалентної детермінованої задачі всюди на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ K 
неперервно диференційована.