Відмінності між версіями «Детермінована задача, еквівалентна до двохетапної задачі СП.»
| Рядок 8: | Рядок 8: | ||
Виразимо ''Q(x)'' через статистичні характеристики параметрів умов задачі і доведемо, що детермінована задача, еквівалентна задачі СП, є задачею опуклого програмуваня. | Виразимо ''Q(x)'' через статистичні характеристики параметрів умов задачі і доведемо, що детермінована задача, еквівалентна задачі СП, є задачею опуклого програмуваня. | ||
| − | Розглянемо задачу другого етапу | + | ''Розглянемо задачу другого етапу'' |
<math> P(x, A, b)=\min_{\ y}q(y) (3.4)</math> | <math> P(x, A, b)=\min_{\ y}q(y) (3.4)</math> | ||
| Рядок 44: | Рядок 44: | ||
Має місце твердження. | Має місце твердження. | ||
| − | Теорема 4.1. Нехай матриця ''B'' задовольняє умовам теореми 3.3 і множина планів задачі (3.8)-(3.90) не порожня. Тоді цільова функція (4.1) еквівалентної детермінованої задачі скінченна для будь-якого <math> x \in K_2</math>. | + | ''Теорема 4.1.'' Нехай матриця ''B'' задовольняє умовам теореми 3.3 і множина планів задачі (3.8)-(3.90) не порожня. Тоді цільова функція (4.1) еквівалентної детермінованої задачі скінченна для будь-якого <math> x \in K_2</math>. |
| − | Наступне твердження є теоретичною основою для побудови чисельних методів розв'язання двохетапної задачі. | + | Наступне твердження є ''теоретичною основою'' для побудови чисельних методів розв'язання двохетапної задачі. |
| − | Теорема 4.2. Детермінована задача (4.1)-(4.2), еквівалентна двохетапній задачі (1.8)-(1.10), є задачею опуклого програмування. | + | ''Теорема 4.2.'' Детермінована задача (4.1)-(4.2), еквівалентна двохетапній задачі (1.8)-(1.10), є задачею опуклого програмування. |
Зауважимо, що з опуклості функції ''Q(x)'' випливає її неперервність у всіх внутрішніх точках опуклої множини ''К''. | Зауважимо, що з опуклості функції ''Q(x)'' випливає її неперервність у всіх внутрішніх точках опуклої множини ''К''. | ||
| Рядок 56: | Рядок 56: | ||
Нагадаємо, що лінійний функціонал ''l'' називається опорним для опуклого вниз функціоналу <math> \phi (\lambda)</math> (субградієнтом до <math> \phi (\lambda)</math>) у точці <math> \lambda_0 \in \Lambda</math>, якщо <math> \phi (\lambda)-\phi (\lambda_0) \geq (l, \lambda-\lambda_0)</math> при всіх <math> \lambda \in \Lambda </math>. | Нагадаємо, що лінійний функціонал ''l'' називається опорним для опуклого вниз функціоналу <math> \phi (\lambda)</math> (субградієнтом до <math> \phi (\lambda)</math>) у точці <math> \lambda_0 \in \Lambda</math>, якщо <math> \phi (\lambda)-\phi (\lambda_0) \geq (l, \lambda-\lambda_0)</math> при всіх <math> \lambda \in \Lambda </math>. | ||
| − | Теорема 4.3. Функціонал | + | ''Теорема 4.3.'' Функціонал |
<math> M{c-z^*(A, b, x_0)A}=\int\limits_{\Omega}{c(\omega)-z^*[A(\omega), b(\omega), x_0]A(\omega)}dp </math> | <math> M{c-z^*(A, b, x_0)A}=\int\limits_{\Omega}{c(\omega)-z^*[A(\omega), b(\omega), x_0]A(\omega)}dp </math> | ||
Версія за 19:47, 22 березня 2014
Побудуємо детерміновану задачу, еквівалентну до двохетапної задачі стохастичного програмування. Розв'язком еквівалентної задачі є попередній план х. По складовим оптимального попереднього плану і реалізаціям ппараметрів умов будується задача другого етапу - задача лінійного програмування, розв'язок якої визначає необхідну компенсацію плану.
Еквівалентна детермінована задача має вигляд Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_{x\in K}Q(x) .
Дотепер ми вивчали область визначення K попередніх планів двохетапної задачі. Дослідимо тепер цільовий функціонал Q(x) - показник якості попереднього плану.
Виразимо Q(x) через статистичні характеристики параметрів умов задачі і доведемо, що детермінована задача, еквівалентна задачі СП, є задачею опуклого програмуваня.
Розглянемо задачу другого етапу
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(x, A, b)=\min_{\ y}q(y) (3.4)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): By=b-Ax (3.5)
,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y \geqslant 0 (3.6)
та двоїсту до неї
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x, A, b)=\max_{\ z}z(b-Ax) (3.8)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): zB \leqslant q
(3.9)
для кожного x, A, b.
Будемо вважати, що задача другого етапу, а отже, і двоїста до неї задачі розв'язні.
За теоремою двоїстості для лінійного програмування
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(x, A, b)= Q(x, A, b)= z*(A, b, x)(b-Ax) ,
де z*(A, b, x) - розв'язок задачі (3.8)-(3.9).
Враховуючи введені позначення, можна тепер двохетапну задачу (1.8)-(1.10) переписати наступним чином:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_{x\in K}Q(x)=\min_{x\in K}{\bar{c}x+MQ(x, A, b)}
або
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{c}x+M[z*(A, b, x)(b-Ax)]\rightarrow min,
(4.1)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x \in K
Має місце твердження.
Теорема 4.1. Нехай матриця B задовольняє умовам теореми 3.3 і множина планів задачі (3.8)-(3.90) не порожня. Тоді цільова функція (4.1) еквівалентної детермінованої задачі скінченна для будь-якого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x \in K_2 .
Наступне твердження є теоретичною основою для побудови чисельних методів розв'язання двохетапної задачі.
Теорема 4.2. Детермінована задача (4.1)-(4.2), еквівалентна двохетапній задачі (1.8)-(1.10), є задачею опуклого програмування.
Зауважимо, що з опуклості функції Q(x) випливає її неперервність у всіх внутрішніх точках опуклої множини К.
Для побудови методів розв'язання двохетапної задачі доцільно знайти вираз для опорного функціоналу до Q(x) і встановити умови диференційованості Q(x).
Нагадаємо, що лінійний функціонал l називається опорним для опуклого вниз функціоналу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi (\lambda)
(субградієнтом до Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi (\lambda)
) у точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda_0 \in \Lambda , якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi (\lambda)-\phi (\lambda_0) \geq (l, \lambda-\lambda_0)
при всіх Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda \in \Lambda
.
Теорема 4.3. Функціонал
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M{c-z^*(A, b, x_0)A}=\int\limits_{\Omega}{c(\omega)-z^*[A(\omega), b(\omega), x_0]A(\omega)}dp
є опорним до цільового функціоналу (4.1) еквівалентної детермінованої задачі у точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_0 \in K
.
Доведення. Функція z^*(A, b, x) за означенням є розв'язком задачі (3.8)-(3.9) для заданого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x \in K
і фіксованого A i b. Звідси,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): cx+z^*(A, b, x)(b-Ax) \geq cx+z^*(a, b, x_0)(b-Ax) ,
або, що те ж саме,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [c-z^*(A, b, x)A]x+z^*(A, b, x)b \geq [c-z^*(A, b, x)A]x+z^*(A, b, x_0)b .
За означенням
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x)=\bar{c}x+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x)(b-Ax)dp .
Тому з останньої рівності випливає, що
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x) \geq \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]xdp+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x_0)bdp .
З іншої сторони,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x_0) = \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]x_0dp+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x_0)bdp .
Звідси випливає, що
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x)-Q(x_0)\geq \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]xdp \cdot (x-x_0) , (4.3)
що й треба було довести.
Якщо виконуються умови теореми 4.1 і ймовірнісна міра у просторі A, b абсолютно неперервні відносно міри Лебега у просторі A, b, (тобто ймовірність попасти у шар достатньо малого радіуса скільки завгодно мала), то цільова функція Q(x) еквівалентної детермінованої задачі всюди на K неперервно диференційована.
