Відмінності між версіями «Дві леми двоїстості»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
(→‎Дві леми двоїстості)
(→‎Дві леми двоїстості)
Рядок 1: Рядок 1:
 
===Дві леми двоїстості===
 
===Дві леми двоїстості===
−
'''Лема 3.1''' (основна нерівність теорії двоїстості). Якщо <math>X=(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> та <math>Y=(y_1,y_2,\ldots,y_m)</math>— допустимі розв’язки <br>  відповідно прямої та двоїстої задач, то виконується нерівність:  
+
=='''Лема 3.1'''== (основна нерівність теорії двоїстості). Якщо <math>X=(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> та <math>Y=(y_1,y_2,\ldots,y_m)</math>— допустимі розв’язки <br>  відповідно прямої та двоїстої задач, то виконується нерівність:  
 
<center> <math>F(X)  \le  Z(Y)</math> або <math>\sum_{j=1}^n c_j x_j \le \sum_{i=1}^m b_i y_i  .</math>  (3.7)</center>
 
<center> <math>F(X)  \le  Z(Y)</math> або <math>\sum_{j=1}^n c_j x_j \le \sum_{i=1}^m b_i y_i  .</math>  (3.7)</center>
  
Рядок 41: Рядок 41:
 
<center> <math> \sum_{j=1}^n c_j x_j \le \sum_{j=1}^n x_j (\sum_{i=1}^m a_{ij} y_i) = \sum_{i=1}^m y_i (\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j) \le \sum_{i=1}^m b_i y_i . </math> </center>
 
<center> <math> \sum_{j=1}^n c_j x_j \le \sum_{j=1}^n x_j (\sum_{i=1}^m a_{ij} y_i) = \sum_{i=1}^m y_i (\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j) \le \sum_{i=1}^m b_i y_i . </math> </center>
 
Нерівність (3.7) доведено.
 
Нерівність (3.7) доведено.
−
 
−
 
  
 
=='''Лема 3.2'''==
 
=='''Лема 3.2'''==

Версія за 09:39, 4 травня 2012

Дві леми двоїстості

==Лема 3.1== (основна нерівність теорії двоїстості). Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X=(x_1,x_2,\ldots,x_n) 

та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y=(y_1,y_2,\ldots,y_m)

— допустимі розв’язки
відповідно прямої та двоїстої задач, то виконується нерівність:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(X) \le Z(Y) 
або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{j=1}^n c_j x_j \le \sum_{i=1}^m b_i y_i  .
(3.7)

Доведення.Помножимо кожне рівняння системи (3.2) на відповідну змінну двоїстої задачі:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left\{ {\begin{array}{l} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1n} x_n \le b_1; y_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \ldots+ a_{2n} x_n \le b_2; y_2 \\ ................................ \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \ldots + a_{mn} x_n \le b_m; y_m \\ \end{array}} \right.

Маємо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left\{ {\begin{array}{l} a_{11} x_1 y_1 + a_{21} x_2 y_1 + \ldots + a_{1n} x_n y_1 \le b_1 y_1 \\ a_{21} x_1 y_2 + a_{22} x_2 y_2 + \ldots+ a_{2n} x_n y_2 \le b_2 y_2 \\ ................................ \\ a_{m1} x_1 y_m + a_{m2} x_2 y_m + \ldots + a_{mn} x_n y_m \le b_m y_m \\ \end{array}} \right.

Підсумувавши праві і ліві частини нерівностей, отримаємо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{i=1}^m y_i (\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j) \le \sum_{i=1}^m b_i y_i (3.8)

Аналогічно перетворимо систему обмежень (3.5) двоїстої за-дачі:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left\{ {\begin{array}{l} a_{11} y_1 + a_{21} y_2 + \ldots + a_{m1} y_m \ge c_1; x_1 \\ a_{12} y_1 + a_{22} y_2 + \ldots + a_{m2} y_m \ge c_2; x_2 \\ ................................ \\ a_{1n} y_1 + a_{2n} y_2 + \ldots + a_{mn} y_m \ge c_n; x_n \\ \end{array}} \right.

Підсумувавши після множення тут також ліві та праві части-ни, отримаємо нерівність:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{j=1}^n x_j (\sum_{i=1}^m a_{ij} y_i) \ge \sum_{j=1}^n c_j x_j (3.9)

Ліві частини нерівностей (3.8) та (3.9) збігаються, отже:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{j=1}^n c_j x_j \le \sum_{j=1}^n x_j (\sum_{i=1}^m a_{ij} y_i) = \sum_{i=1}^m y_i (\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j) \le \sum_{i=1}^m b_i y_i .

Нерівність (3.7) доведено.

Лема 3.2

Отримано з https://wiki.cusu.edu.ua/index.php?title=Дві_леми_двоїстості&oldid=66679