Відмінності між версіями «Третя теорема двоїстості. Економічне тлумачення.»
Sergkyl (обговорення • внесок) |
Sergkyl (обговорення • внесок) |
||
| Рядок 3: | Рядок 3: | ||
або <math>dF/db_i=y_{i}^{*}</math> , <math>(i=1,2,...,m)</math> (3.28) <br> | або <math>dF/db_i=y_{i}^{*}</math> , <math>(i=1,2,...,m)</math> (3.28) <br> | ||
'''Доведення.''' Розглянемо задачу лінійного програмування, подану в канонічній формі: | '''Доведення.''' Розглянемо задачу лінійного програмування, подану в канонічній формі: | ||
| − | <math> | + | <math>max/ F=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...+c_{n}x_{n}</math> (3.29) <br> |
<center><math>\left\{ {\begin{array}{l} | <center><math>\left\{ {\begin{array}{l} | ||
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ | a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ | ||
| − | a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{2n}x_{n}=b_{2} \\ | + | a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{2n}x_{n}=b_{2} \\ (3,30) |
................................ \\ | ................................ \\ | ||
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{mn}x_{n}=b_{m} \\ | a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{mn}x_{n}=b_{m} \\ | ||
| Рядок 12: | Рядок 12: | ||
<math>x_j\ge 0</math> ,<math>j=\overline{1,n}</math> (3.31) <br> | <math>x_j\ge 0</math> ,<math>j=\overline{1,n}</math> (3.31) <br> | ||
| − | Двоїсту задачу до задачі (3.29)-(3.31) сформулюємо так: знайти оптимальний план <math>Y^*=(y_{1}^{*},y_{2}^{*},...,y_{m}^{*})</math> ,за якого мінімізується значення <br> <math>Z=b_{1}y_{1}+b_{2}y_2{}+...+b_{m}y_{m}</math> (3.32) за умов:причому умова невід’ємності змінних <math>y_i^*</math> <math>(i=\overline{1,n})</math> відсутня. <br> | + | Двоїсту задачу до задачі (3.29)-(3.31) сформулюємо так: знайти оптимальний план <math>Y^*=(y_{1}^{*},y_{2}^{*},...,y_{m}^{*})</math> ,за якого мінімізується значення <br> |
| + | <math> Z=b_{1}y_{1}+b_{2}y_2{}+...+b_{m}y_{m}</math> (3.32) | ||
| + | за умов: | ||
| + | <center><math>\left\{ {\begin{array}{l} | ||
| + | a_{11}y_{1}+a_{12}y_{2}+a_{1n}y_{n}\ge c_{1} \\ | ||
| + | a_{21}y_{1}+a_{22}y_{2}+a_{2n}y_{n\ge c_{2} \\ (3,30) | ||
| + | ................................ \\ | ||
| + | a_{m1}y_{1}+a_{m2}y_{2}+a_{mn}y_{n}\ge c_{m} \\ | ||
| + | \end{array}} \right.</math></center> | ||
| + | причому умова невід’ємності змінних <math>y_i^*</math> <math>(i=\overline{1,n})</math> відсутня. <br> | ||
Позначимо <math>Y^*=(y_{1}^{*},y_{2}^{*},...,y_{m}^{*})</math> — оптимальний план двоїстої задачі,<math>X^*=(x_{1}^{*},x_{2}^{*},...,x_{m}^{*})</math> — оптимальний план задачі (3.29)-(3.31). За першою теоремою двоїстості відомо, що:<math>max\ F=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...+c_{n}x_{n}=min\ Z=b_{1}y_{1}^{*}+b_{2}y_{2}^{*}+...+b_{m}y_{m}^{*}</math> <br> | Позначимо <math>Y^*=(y_{1}^{*},y_{2}^{*},...,y_{m}^{*})</math> — оптимальний план двоїстої задачі,<math>X^*=(x_{1}^{*},x_{2}^{*},...,x_{m}^{*})</math> — оптимальний план задачі (3.29)-(3.31). За першою теоремою двоїстості відомо, що:<math>max\ F=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...+c_{n}x_{n}=min\ Z=b_{1}y_{1}^{*}+b_{2}y_{2}^{*}+...+b_{m}y_{m}^{*}</math> <br> | ||
або <math>F=b_{1}y_{1}^{*}+b_{2}y_{2}^{*}+...+b_{m}y_{m}^{*}</math>(3.34) <br> | або <math>F=b_{1}y_{1}^{*}+b_{2}y_{2}^{*}+...+b_{m}y_{m}^{*}</math>(3.34) <br> | ||
Версія за 19:42, 3 травня 2012
Теорема (третя теорема двоїстості). Компоненти оптимального плану двоїстої задачі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{i}^{*}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=\overline{1,n}
дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(b_{1},b_{2}...,b_{m})
за відповідними аргументами Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}
,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=\overline{1,n})
або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): dF/db_i=y_{i}^{*}
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=1,2,...,m) (3.28)
Доведення. Розглянемо задачу лінійного програмування, подану в канонічній формі: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): max/ F=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...+c_{n}x_{n}
(3.29)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_j\ge 0
,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): j=\overline{1,n}
(3.31)
Двоїсту задачу до задачі (3.29)-(3.31) сформулюємо так: знайти оптимальний план Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^*=(y_{1}^{*},y_{2}^{*},...,y_{m}^{*})
,за якого мінімізується значення
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Z=b_{1}y_{1}+b_{2}y_2{}+...+b_{m}y_{m}
(3.32)
за умов:
причому умова невід’ємності змінних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_i^*
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=\overline{1,n})
відсутня.
Позначимо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^*=(y_{1}^{*},y_{2}^{*},...,y_{m}^{*})
— оптимальний план двоїстої задачі,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X^*=(x_{1}^{*},x_{2}^{*},...,x_{m}^{*})
— оптимальний план задачі (3.29)-(3.31). За першою теоремою двоїстості відомо, що:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): max\ F=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...+c_{n}x_{n}=min\ Z=b_{1}y_{1}^{*}+b_{2}y_{2}^{*}+...+b_{m}y_{m}^{*}
або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F=b_{1}y_{1}^{*}+b_{2}y_{2}^{*}+...+b_{m}y_{m}^{*}
(3.34)
Оскільки досліджується питання впливу зміни значень Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}
,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=\overline{1,n})
на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F
, то лінійну функцію (3.34) можна розглядати як функцію від аргументів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}
,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=\overline{1,n}) .Тоді частинні похідні за змінними Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i} ,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=\overline{1,n})
будуть дорівнювати компонентам оптимального плану двоїстої задачі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{i}^{*}
:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): dF/db_{i}=y_{i}^{*}
,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,2,...,m
(3.35)
Однак дане твердження справедливе лише у тому разі, коли компоненти оптимального плану Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)
залишаються постійними, а оскільки за першою теоремою двоїстості Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^*=C^*D^{-1}
, то значення двоїстих оцінок будуть незмінними лише за умови постійної структури оптимального плану початкової задачі.
Отже, рівності (3.35) справджуються лише за незначних змін Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_i ,інакше суттєва зміна умов початкової задачі (правих частин системи обмежень (3.30) та цільової функції (3.32) приведе до зміни базису в оптимальному плані прямої задачі, а значить, і до іншого розв’язку двоїстої Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^{~}\ne Y^* .
Економічний зміст третьої теореми двоїстості. Двоїсті оцінки є унікальним інструментом, який дає змогу зіставляти непорівнянні речі. Очевидно, що неможливим є просте зіставлення величин, які мають різні одиниці вимірювання. Якщо взяти як приклад виробничу задачу, то цікавим є питання: як змінюватиметься значення цільової функції (може вимірюватися в грошових одиницях) за зміни обсягів різних ресурсів (можуть вимірюватися в тоннах, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M^2
, люд./год, га тощо).Використовуючи третю теорему двоїстості, можна легко визначити вплив на зміну значення цільової функції збільшення чи зменшення обсягів окремих ресурсів: числові значення двоїстих оцінок показують, на яку величину змінюється цільова функція за зміни обсягу відповідного даній оцінці ресурсу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{i}^{*}=F/b_{i}
.Отже, за умови незначних змін Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}
замість задачі (3.29)—(3.31) маємо нову задачу, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}
замінено на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}^{'}=b_{i}+b_{i}
.Позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X^{'}
оптимальний план нової задачі.Для визначення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(X^{'})
не потрібно розв’язувати нову задачу лінійного програмування, а достатньо скористатися формулою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(X^{'})-F(X^{*})=y_{i}^{*}b_{i}
, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X^{*}
— оптимальний план задачі (3.29)—(3.31).
