Відмінності між версіями «Третя теорема двоїстості. Економічне тлумачення.»
Sergkyl (обговорення • внесок) |
Sergkyl (обговорення • внесок) |
||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
'''Теорема (третя теорема двоїстості)'''. | '''Теорема (третя теорема двоїстості)'''. | ||
| − | Компоненти оптимального плану двоїстої задачі <math>y_i^*</math> <math>(i=1,n)</math> дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції <math>F(b_1,b_2...,b_m)</math> за відповідними аргументами | + | Компоненти оптимального плану двоїстої задачі <math>y_i^*</math> <math>(i=1,n)</math> дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції <math>F(b_1,b_2...,b_m)</math> за відповідними аргументами <math>b_i</math>,<math>(i=1,n)</math> або |
| − | <math>dF/db_i=y_i^*</math> ,<math>i=1,2,...,m</math> | + | <math>dF/db_i=y_i^*</math> ,<math>i=1,2,...,m</math>(3.28) <br> |
'''Доведення.''' Розглянемо задачу лінійного програмування, подану в канонічній формі: | '''Доведення.''' Розглянемо задачу лінійного програмування, подану в канонічній формі: | ||
| − | <math>maxF=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n</math> | + | <math>maxF=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n</math>(3.29) <br> |
| − | <math>x_j\ge 0</math> ,<math>j=1,n</math> | + | <math>x_j\ge 0</math> ,<math>j=1,n</math> (3.31) <br> |
Двоїсту задачу до задачі (3.29)-(3.31) сформулюємо так: знайти оптимальний план <math>Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)</math> ,за якого мінімізується значення <br> <math>Z=b_1y_1+b_2y_2+...+b_my_m</math> (3.32) за умов:причому умова невід’ємності змінних <math>y_i^*</math><math>(i=\overline{1,n})</math> відсутня. <br> | Двоїсту задачу до задачі (3.29)-(3.31) сформулюємо так: знайти оптимальний план <math>Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)</math> ,за якого мінімізується значення <br> <math>Z=b_1y_1+b_2y_2+...+b_my_m</math> (3.32) за умов:причому умова невід’ємності змінних <math>y_i^*</math><math>(i=\overline{1,n})</math> відсутня. <br> | ||
| − | Позначимо <math>Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)</math> — оптимальний план двоїстої задачі,<math>X^*=(x_1^*,x_2^*,...,x_m^*)</math> — оптимальний план задачі | + | Позначимо <math>Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)</math> — оптимальний план двоїстої задачі,<math>X^*=(x_1^*,x_2^*,...,x_m^*)</math> — оптимальний план задачі (3.29)-(3.31). За першою теоремою двоїстості відомо, що:<math>maxF=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n=minZ=b_1y_1^*+b_2y_2^*+...+b_my_m^*</math> <br> |
| − | або <math>F=b_1y_1^*+b_2y_2^*+...+b_my_m^*</math> | + | або <math>F=b_1y_1^*+b_2y_2^*+...+b_my_m^*</math>(3.34) <br> |
| − | Оскільки досліджується питання впливу зміни значень <math>b_i</math>,<math>(i=1,n)</math> на <math>F</math> , то лінійну функцію (3.34) можна розглядати як функцію від аргументів <math>b_i</math>,<math>(i=1,n)</math>.Тоді частинні похідні за змінними <math>b_i</math>,<math>(i=1,n)</math> будуть дорівнювати компонентам оптимального плану двоїстої задачі <math>y_i^*</math> :<math>dF/db_i=y_i^*</math> ,<math>i=1,2,...,m</math> | + | Оскільки досліджується питання впливу зміни значень <math>b_i</math>,<math>(i=1,n)</math> на <math>F</math> , то лінійну функцію (3.34) можна розглядати як функцію від аргументів <math>b_i</math>,<math>(i=1,n)</math>.Тоді частинні похідні за змінними <math>b_i</math>,<math>(i=1,n)</math> будуть дорівнювати компонентам оптимального плану двоїстої задачі <math>y_i^*</math> :<math>dF/db_i=y_i^*</math> ,<math>i=1,2,...,m</math>(3.35) <br> |
Однак дане твердження справедливе лише у тому разі, коли компоненти оптимального плану <math>Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)</math> залишаються постійними, а оскільки за першою теоремою двоїстості <math>Y^*=C^*D^{-1}</math>, то значення двоїстих оцінок будуть незмінними лише за умови постійної структури оптимального плану початкової задачі. | Однак дане твердження справедливе лише у тому разі, коли компоненти оптимального плану <math>Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)</math> залишаються постійними, а оскільки за першою теоремою двоїстості <math>Y^*=C^*D^{-1}</math>, то значення двоїстих оцінок будуть незмінними лише за умови постійної структури оптимального плану початкової задачі. | ||
Версія за 18:25, 3 травня 2012
Теорема (третя теорема двоїстості). Компоненти оптимального плану двоїстої задачі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_i^*
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=1,n) дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(b_1,b_2...,b_m) за відповідними аргументами Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_i
,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=1,n)
або
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): dF/db_i=y_i^*
,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,2,...,m
(3.28)
Доведення. Розглянемо задачу лінійного програмування, подану в канонічній формі:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): maxF=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n
(3.29)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_j\ge 0
,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): j=1,n (3.31)
Двоїсту задачу до задачі (3.29)-(3.31) сформулюємо так: знайти оптимальний план Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)
,за якого мінімізується значення
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Z=b_1y_1+b_2y_2+...+b_my_m (3.32) за умов:причому умова невід’ємності змінних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_i^*
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=\overline{1,n})
відсутня.
Позначимо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)
— оптимальний план двоїстої задачі,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X^*=(x_1^*,x_2^*,...,x_m^*) — оптимальний план задачі (3.29)-(3.31). За першою теоремою двоїстості відомо, що:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): maxF=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n=minZ=b_1y_1^*+b_2y_2^*+...+b_my_m^*
або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F=b_1y_1^*+b_2y_2^*+...+b_my_m^*
(3.34)
Оскільки досліджується питання впливу зміни значень Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_i
,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=1,n)
на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F , то лінійну функцію (3.34) можна розглядати як функцію від аргументів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_i
,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=1,n) .Тоді частинні похідні за змінними Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_i ,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=1,n)
будуть дорівнювати компонентам оптимального плану двоїстої задачі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_i^* :Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): dF/db_i=y_i^* ,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,2,...,m
(3.35)
Однак дане твердження справедливе лише у тому разі, коли компоненти оптимального плану Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)
залишаються постійними, а оскільки за першою теоремою двоїстості Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^*=C^*D^{-1}
, то значення двоїстих оцінок будуть незмінними лише за умови постійної структури оптимального плану початкової задачі.
Отже, рівності (3.35) справджуються лише за незначних змін Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_i ,інакше суттєва зміна умов початкової задачі (правих частин системи обмежень (3.30) та цільової функції (3.32) приведе до зміни базису в оптимальному плані прямої задачі, а значить, і до іншого розв’язку двоїстої Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^{~}\ne Y^* .
Економічний зміст третьої теореми двоїстості. Двоїсті оцінки є унікальним інструментом, який дає змогу зіставляти непорівнянні речі. Очевидно, що неможливим є просте зіставлення величин, які мають різні одиниці вимірювання. Якщо взяти як приклад виробничу задачу, то цікавим є питання: як змінюватиметься значення цільової функції (може вимірюватися в грошових одиницях) за зміни обсягів різних ресурсів (можуть вимірюватися в тоннах, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M^2
, люд./год, га тощо).Використовуючи третю теорему двоїстості, можна легко визначити вплив на зміну значення цільової функції збільшення чи зменшення обсягів окремих ресурсів: числові значення двоїстих оцінок показують, на яку величину змінюється цільова функція за зміни обсягу відповідного даній оцінці ресурсу
