Відмінності між версіями «Третя теорема двоїстості. Економічне тлумачення.»
Матеріал з Вікі ЦДУ
Sergkyl (обговорення • внесок) |
Sergkyl (обговорення • внесок) |
||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
'''Теорема (третя теорема двоїстості)'''.<br> Компоненти оптимального плану двоїстої задачі <math>y_i^*</math> <math>(i=1,n)</math> дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції <math>F(b_1,b_2...,b_m)</math> за відповідними аргументами <math>b_i</math>,<math>(i=1,n)</math> або | '''Теорема (третя теорема двоїстості)'''.<br> Компоненти оптимального плану двоїстої задачі <math>y_i^*</math> <math>(i=1,n)</math> дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції <math>F(b_1,b_2...,b_m)</math> за відповідними аргументами <math>b_i</math>,<math>(i=1,n)</math> або | ||
<math>dF/db_i=y_i^*</math> ,<math>i=1,2,...,m</math> (3.28) <br> | <math>dF/db_i=y_i^*</math> ,<math>i=1,2,...,m</math> (3.28) <br> | ||
| − | Доведення. Розглянемо задачу лінійного програмування, подану в канонічній формі: | + | '''Доведення.''' Розглянемо задачу лінійного програмування, подану в канонічній формі: |
<math>maxF=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n</math> (3.29) <br> | <math>maxF=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n</math> (3.29) <br> | ||
<math>x_j\ge 0</math> ,<math>j=1,n</math> (3.31) <br> | <math>x_j\ge 0</math> ,<math>j=1,n</math> (3.31) <br> | ||
Двоїсту задачу до задачі (3.29)-(3.31) сформулюємо так: знайти оптимальний план <math>Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)</math> ,за якого мінімізується значення <br> <math>Z=b_1y_1+b_2y_2+...+b_my_m</math> (3.32) за умов:причому умова невід’ємності змінних <math>y_i^*</math><math>(i=1,n)</math> відсутня. <br> | Двоїсту задачу до задачі (3.29)-(3.31) сформулюємо так: знайти оптимальний план <math>Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)</math> ,за якого мінімізується значення <br> <math>Z=b_1y_1+b_2y_2+...+b_my_m</math> (3.32) за умов:причому умова невід’ємності змінних <math>y_i^*</math><math>(i=1,n)</math> відсутня. <br> | ||
| − | Позначимо <math>Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)</math> — оптимальний план двоїстої задачі,<math>X^*=(x_1^*,x_2^*,...,x_m^*)</math> — оптимальний план задачі (3.29)—(3.31). За першою теоремою двоїстості відомо, що: | + | Позначимо <math>Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)</math> — оптимальний план двоїстої задачі,<math>X^*=(x_1^*,x_2^*,...,x_m^*)</math> — оптимальний план задачі (3.29)—(3.31). За першою теоремою двоїстості відомо, що:<math>maxF=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n=minZ=b_1y_1^*+b_2y_2^*+...+b_my_m^*</math> <br> |
| + | або <math>F=b_1y_1^*+b_2y_2^*+...+b_my_m^*</math> (3.34) | ||
Версія за 17:24, 3 травня 2012
Теорема (третя теорема двоїстості).
Компоненти оптимального плану двоїстої задачі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_i^*
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=1,n) дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(b_1,b_2...,b_m) за відповідними аргументами Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_i
,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=1,n)
або
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): dF/db_i=y_i^*
,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,2,...,m
(3.28)
Доведення. Розглянемо задачу лінійного програмування, подану в канонічній формі: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): maxF=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n
(3.29)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_j\ge 0
,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): j=1,n
(3.31)
Двоїсту задачу до задачі (3.29)-(3.31) сформулюємо так: знайти оптимальний план Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)
,за якого мінімізується значення
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Z=b_1y_1+b_2y_2+...+b_my_m (3.32) за умов:причому умова невід’ємності змінних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_i^*
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=1,n)
відсутня.
Позначимо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)
— оптимальний план двоїстої задачі,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X^*=(x_1^*,x_2^*,...,x_m^*) — оптимальний план задачі (3.29)—(3.31). За першою теоремою двоїстості відомо, що:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): maxF=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n=minZ=b_1y_1^*+b_2y_2^*+...+b_my_m^*
або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F=b_1y_1^*+b_2y_2^*+...+b_my_m^*
(3.34)
