Відмінності між версіями «Закон Гука та межі нелінійності»

Версія за 09:42, 23 травня 2011

Закон Гука встановлює лінійну залежність між деформацією й механічними напруженнями.

Закон Гука справедливий для малих пружних деформацій.

Закон Гука для випадку одновісного напруженого стану

У своїй найпростішій формі закон Гука записується для деформації довгого тонкого трижень або пружина

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F = - k x

,

де F — сила, k — коефіцієнт жорсткості, х — видовження.

Ця формула не враховує зміни поперечних розмірів стрижня при розтяг у. Крім того коефіцієнт жорсткості — це властивість стрижня, а не властивість матеріал у, з якого він виготовлений.

Запис закону Гука через напруження і відносні деформації дає можливість виключити вплив конструктивних особливостей стрижень на вид залежності між силовим параметром і деформацією. Для випадку лінійного навантаження закон Гука має вигляд:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma = E \frac{\Delta l}{l} = E \epsilon

,

де: σ — механічне напруження, визначається, як сила, що припадає на одиницю площі поперечного перерізу тіла;

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon = \frac{\Delta l}{l}

— величина відносної деформації (відносне видовження);

E – модуль Юнга.

Закон Гука для тривимірного напруженого стану

Закон Гука для тривимірного (складного) напруженого стану у випадку ізотропного матеріалу може бути записаний у вигляді системи рівнянь:

для лінійних деформацій

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon_x = \frac {1} {E} [\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z)]

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon_y = \frac {1} {E} [\sigma_y - \nu(\sigma_z + \sigma_x)]

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon_z = \frac {1} {E} [\sigma_z - \nu(\sigma_x + \sigma_y)]

для деформацій зсуву

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma_{xy} = \frac {\tau_{xy}} {G}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma_{xz} = \frac {\tau_{xz}} {G}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma_{yz} = \frac {\tau_{yz}} {G}

де:

ε – деформація розтягу-стиску в точці,

σ – напруження розтягу-стиску,

γ – деформація зсуву (кутова) в точці,

τ – напруження зсуву (дотичне напруження) в точці,

G – модуль зсуву,

E – модуль Юнга

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nu

- коефіцієнт Пуассона.

Закон можна сформулювати так: компоненти тензора деформації в даній точці тіла знаходяться в лінійній залежності від компонентів тензора напруження тієї ж точки.

Строга форма запису закону Гука

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma_{ik} = \sum_{lm} \lambda_{iklm} \varepsilon_{lm}

,

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma_{ik}

— тензор механічних напружень, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \varepsilon_{lm} 
— тензор деформації, а

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda_{iklm}

— тензор чертвертого рангу, який називається тензором модулів пружності і

є характеристикою речовини.

Закон Гука був сформульований Робертом Гуком у 1660.