Відмінності між версіями «Косинус та синус перетворення Фур'є»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
Рядок 2: Рядок 2:
 
:'''1'''.Нехай функція <math>f(x)</math>-парна,<math>f(t)cos (\alpha\ t)</math>-парна,тоді:<math>{A(\alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt</math>
 
:'''1'''.Нехай функція <math>f(x)</math>-парна,<math>f(t)cos (\alpha\ t)</math>-парна,тоді:<math>{A(\alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt</math>
 
:<math>f(t)sin(\alpha\ t)</math>-непарна,тоді:<math>{B(\alpha)}=0;f(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}</math>;
 
:<math>f(t)sin(\alpha\ t)</math>-непарна,тоді:<math>{B(\alpha)}=0;f(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}</math>;
:Якщо функція f(x)-довільна,визначена на проміжку <math>(0;\infty)</math>,то парне продовження цієї функції <math>f_2(x)=\ begin{cases}
+
:Якщо функція f(x)-довільна,визначена на проміжку <math>(0;\infty)</math>,то парне продовження цієї функції <math>{f(x) = \begin{cases}f(x)
f(x),& x >= 0\\
+
, & \mbox{x}\mbox{ is even} \\ 3n+1, & \mbox{if }n\mbox{ is odd} \end{cases}}</math>
f(-x), & x < 0
+
 
\end{cases}</math> розвинення парного продовження:
+
розвинення парного продовження:
 
:<math>f_2(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}</math>
 
:<math>f_2(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}</math>
 
:Для будь-якого <math>x>=0</math>;<math>f(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}</math>(*)
 
:Для будь-якого <math>x>=0</math>;<math>f(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}</math>(*)
Рядок 22: Рядок 22:
 
:<math>f(x)=\int_0^\infty {B(\alpha)}sin (\alpha\ x){d(\alpha)}</math>(**)
 
:<math>f(x)=\int_0^\infty {B(\alpha)}sin (\alpha\ x){d(\alpha)}</math>(**)
 
:Розглянемо формулу (*),тоді отримаємо:
 
:Розглянемо формулу (*),тоді отримаємо:
:<math>f(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}</math>;
+
:<math>f(x)={ \sqrt\(\frac{2}{\pi})</math>;
 
:<math>{F(\alpha)}=\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt</math>називаэться '''<font color='green' size=3>Косинус-перетворенням</font>'''функції<math>f(x)</math>,а функція називається '''<font color='red' size=3>Оберненим косинус-перетворенням</font>'''для <math>f(x)</math>
 
:<math>{F(\alpha)}=\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt</math>називаэться '''<font color='green' size=3>Косинус-перетворенням</font>'''функції<math>f(x)</math>,а функція називається '''<font color='red' size=3>Оберненим косинус-перетворенням</font>'''для <math>f(x)</math>
 
:Аналогічно вводится пряме та обернене синус-перетворення<math>f(x)</math>
 
:Аналогічно вводится пряме та обернене синус-перетворення<math>f(x)</math>

Версія за 11:34, 20 травня 2010

Розглянемо часткові випадки:
1.Нехай функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

-парна,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) -парна,тоді:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(\alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin(\alpha\ t)

-непарна,тоді:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(\alpha)}=0;f(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}

Якщо функція f(x)-довільна,визначена на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (0;\infty)

,то парне продовження цієї функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f(x) = \begin{cases}f(x) , & \mbox{x}\mbox{ is even} \\ 3n+1, & \mbox{if }n\mbox{ is odd} \end{cases}}


розвинення парного продовження:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_2(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}
Для будь-якого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}

(*)

2.Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

-непарна,тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) -непарна,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin (\alpha\ t) -парна;Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(\alpha)}=0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(\alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}

Якщо функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) -довільна,визначена на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (0;\infty) , тоді непарне продовження буде:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_1(x) = \begin{cases} f(x), & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ f(-x), & x < 0 \end{cases},\
розвинення непарного продовження:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_1(x)=\int_0^\infty {B(\alpha)}sin (\alpha\ x){d(\alpha)}
Для будь-якогоНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(\alpha)}sin (\alpha\ x){d(\alpha)}

(**)

Розглянемо формулу (*),тоді отримаємо:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)={ \sqrt\(\frac{2}{\pi})
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {F(\alpha)}=\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt

називаэться Косинус-перетвореннямфункціїНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) ,а функція називається Оберненим косинус-перетвореннямдля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

Аналогічно вводится пряме та обернене синус-перетворенняНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
Зауваження:
В деякій літературі пряме синус та косинус-перетворення вводиться з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (\frac{2}{\pi})

,а оберене з 1.

Функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

називають їїОригіналом,а функції називають ОбразомфункціїНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

у просторі відповідного перетворення.
Додаткова інформація
При кутовій зміні частоті,змінюється і циклічна частота при цьому косинус-перетвореняя представляє наступні дві формули:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g_c(w)=2\int_0^\infty f(t)cos({2\pi}ft)dt


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)=(\frac{1}{\pi})\int_0^\infty g_c(f)cos({2\pi}ft)df


Якщо наша функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

визначена на інтерваліНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): (-L/2,L/2) ,то модель Фур'є буде:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=a_0/(2)+\sum^{\infin}_{k=1}(a_k cos({2\pi}kx)/L)+b_k sin({2\pi}kx)/L)


Так як визначено у формулі основна частота цієї Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f=1/L
і всіх вищих гармонік частоти Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_k

є цілими кратними основної частоти.Тобто,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_k=k/L=k\Delta f .

Зараз ми стикаємось з перспективою даючи Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (L \to 0)

з якого слідує,що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f\to 0

і, отже, поняття гармонійної частоти перестане бути корисним.
Для того, щоб врятувати ситуацію, ми повинні відокремлювати поняття фізичної частоти і номер гармоніки. Щоб зробити це, ми першим позначемо зміни, з тим, що ми можемо лікувати коефіцієнти Фур'є в залежності від частоти змінного Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_k
,яка приймає дискретні значення, кратні ΔF. Таким чином попереднє рівняння буде мати вигляд:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=a_0/(2)+\sum^{\infin}_{k=1}(a(f_k)cos({2\pi}x f_k)+b(f_k)sin({2\pi}x f_k)
Також є такі формули косинус та синус перетворення Фур'є
Косинус-перетворення Фур'є
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_c(\varphi)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)e^{-i\varphi t}dt
Синус-перетворення Фур'є
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_s(\varphi)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)sin(\varphi)dt