Відмінності між версіями «Наближене обчислення коефіцієнтів ряду Фур'є»

Версія за 11:05, 20 травня 2010

Ряд Фур’є На практиці часто доводиться мати справу з періодичними процесами, що описуються кусково-гладкими функціями. Такі функції подають не степеневими, а тригонометричними рядами. Означення. Функція називається такою, що задовольняє умови Діріхле на відрізку , якщо на цьому відрізку виконуються такі умови:

1.Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

  має скінченне число розривів першого роду;

2.Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

  має скінченне число екстремумів;

3. Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}\

 для x є (a,b).

Теорема 17. Функція f(x), що задовольняє умови Діріхле на відрізку [-l,l] на інтервалі (-l,l) може бути визначена тригонометричним рядом Фур’є:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \big[ a_n \cos(\frac{nx\pi}{l}) + b_n \sin(\frac{nx\pi}{l}) \big]

де коефіцієнти Фур’є Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n

та  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_n
 обчислюються за такими формулами:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n= \frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)\cos(\frac{nx\pi}{l})dx, \qquad b_n= \frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)\sin(\frac{nx\pi}{l})dx.

Класичне визначення

Тригонометричним рядом Фур'є називають функційний ряд виду

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \big[ a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \big]

Якщо ряд збігається, то його сума дорівнює періодичній функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ f(x)

з періодом Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ 2\pi

, оскільки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \sin nx

та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \cos nx
є періодичними з періодом Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ 2\pi

.

Сталі числа Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ a_0, a_n, b_n \;\; (n \in \mathbb{N})

називаються коефіцієнтами тригонометричного ряду:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n= \frac1{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx, \qquad b_n= \frac1{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx.

Загальне визначення

Нехай дано ортогональну систему в Гільбертовому просторі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): R

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\}

та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ f
— довільний елемент з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): R

. Послідовність чисел

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_k =\frac{\langle f, \varphi_k \rangle}{||\varphi_k||^2}

називається координатами, або коефіцієнтами Фур'є елемента Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f

по системі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{\varphi_k\}

, а ряд

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_k c_k \varphi_k

називається рядом Фур'є елемента Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ f

по ортогональній системі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{\varphi_k\}

.

Справедлива так звана нерівність Бесселя:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{k=1}^\infty c_k^2 \le ||f||^2.

Якщо виконується рівність Парсеваля

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{k=1}^\infty c_k^2 = ||f||^2

, то нормована система Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{\varphi_k\}

називається замкненою.

Справедливе твердження: в сепарабельному евклідовому просторі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): R

будь-яка повна ортогональна нормована система є замкненою і навпаки.

Ряди Фур'є для парних і непарних функцій

Нехай f(x) - парна функція з періодом 2L , що задовольняє умові f(-x) = f(x) .

Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_0=\frac{1}{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) dx = \frac{2}{l} \int\limits_{0}^{l} f(x) dx

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n=\frac{1}{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{\pi nx}{l} dx = \frac{2}{l} \int\limits_{0}^{l} f(x) \cos \frac{\pi nx}{l} dx

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_n=\frac{1}{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{\pi nx}{l} dx =0 , де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n=1,2, . . .

Таким чином, в ряді Фур'є для парної функції відсутні члени з синусами, і ряд Фур'є для парної функції з періодом Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 2L

виглядає так:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos \frac{\pi nx}{l}

Нехай тепер Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)  — непарна функція з періодом Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 2L , що задовольняє умові Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(-x)=-f(x) .

Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_n=\frac{2}{l} \int\limits_{0}^{l} f(x) \sin \frac{\pi nx}{l} dx , де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n=1,2, . . .

Таким чином, в ряді Фур'є для непарної функції відсутній вільний член і члени з косинусами, і ряд Фур'є для непарної функції з періодом Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 2L

виглядає так:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n \sin \frac{\pi nx}{l}

Якщо функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

розкладається в тригонометричний ряд Фур'є  на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [-\pi, \pi]\!
 то 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx) ,

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_0=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) dx

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx

Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

розкладається в тригонометричний ряд Фур'є  на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [0,L]

, то довизначивши задану функцію Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

відповідним чином на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [-L,0]

після чого періодично продовживши на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (T=2L)

, отримаємо нову функцію, яку розкладаємо в новий ряд Фур'є.

Для розкладу в ряд Фур'є неперіодичної функції, заданої на кінцевому довільному проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [a,b] , треба: довизначити Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [b,a+2L]

і періодично продовжити, або довизначити на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [b-2L,a]
і періодично продовжити.