Відмінності між версіями «Розв’язок рівняння Лапласа у циліндричних координатах. Рівняння Беселя»

Версія за 08:12, 20 травня 2010

Рівняння Лапласа

Рівняння Лапласа - однорідне лінійне рівняння в частинних похідних другого порядку еліптичного типу.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0

.

Рівняння Лапласа описує електростатичне поле в просторі без електричних зарядів. Рівнянням Лапласа описується стаціонарний розподіл температури у просторовому тілі.

Функції, які задовільняють рівнянню Лапласа, називаються гармонічними.

Відповідне неоднорідне рівняння називається рівнянням Пуассона.

Рівняння Лапласа - рівняння в частинних похідних. У тривимірному просторі рівняння Лапласа записується так:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0

і є частковим випадком рівняння Гельмгольца.

У двовимірному просторі рівняння Лапласа записується:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0

Також і вn-вимірному просторі. У цьому випадку до нуля прирівнюється сума n других похідних. За допомогою диференціального оператора

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \triangle = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + ...

- оператора Лапласа - це рівняння записується (для будь-якої розмірності) однаково як Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \triangle u = 0

Оператор Лапласа

Оператор Лапласа - диференціальний оператор, який діє в лінійному просторі гладких функцій, який позначають символом Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \Delta . Функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F\

він ставить у відповідність функцію Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots  + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F

.

Оператор Лапласа еквівалентний послідовному взяття операцій градієнта і дивергенції: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad} , таким чином значення оператора Лапласа у точці може бути витлумачено як щільність джерел (стоків) потенційного векторного поля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \operatorname{grad}F

в цій точці. У декартовій системі координат оператор Лапласа часто позначається наступним чином Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2

, тобто у вигляді скалярного добутку оператора Набла на себе.

Вирази для оператора Лапласа у різних криволінійних системах координат

У довільних ортогональних криволінійних координатах в тривимірному просторі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): q_1,\ q_2,\ q_3

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_i\

 — коефіцієнти Ляме.

Циліндричні координати

У циліндричних координатах поза прямою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ r=0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

Сферичні координати

У сферичних координатах поза початком відліку (у тривимірному просторі):

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

або

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.

В випадку якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ f=f(r)

в n-вимірному простррі:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.

Параболічні координати

В параболічних координатах (у тривимірному просторі) поза початком відліку:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

Цилиндричні параболічні координати

В координатах параболічного циліндра поза початком відліку:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}

Рівняння Беселя

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0,