Відмінності між версіями «Косинус та синус перетворення Фур'є»
| Рядок 29: | Рядок 29: | ||
:При кутовій зміні частоті,змінюється і циклічна частота при цьому косинус-перетвореняя представляє наступні дві формули: | :При кутовій зміні частоті,змінюється і циклічна частота при цьому косинус-перетвореняя представляє наступні дві формули: | ||
| − | :<math>g_c(w)=2\int_0^\infty f(t)cos(2\pi\ft)dt</math> | + | :<math>g_c(w)=2\int_0^\infty f(t)cos(2{\pi\}ft)dt</math> |
:<math>f(t)=(\frac{1}{\pi})\int_0^\infty g_c(f)cos((pi))df</math> | :<math>f(t)=(\frac{1}{\pi})\int_0^\infty g_c(f)cos((pi))df</math> | ||
Версія за 20:22, 18 травня 2010
- Розглянемо часткові випадки:
- 1.Нехай функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
-парна,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) -парна,тоді:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin(\alpha\ t)
-непарна,тоді:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(alpha)}=0;f(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}
- Якщо функція f(x)-довільна,визначена на проміжку (0; ,то парне продовження цієї функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_2(x)= \begin{cases} f(x),& x \geqslant 0\\ f(-x), & x < 0
розвинення парного продовження:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_2(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}
- Для будь-якого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}
(*)
- 2.Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
-непарна,тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) -непарна,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin (\alpha\ t) -парна;Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(alpha)}=0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}
Якщо функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) -довільна,визначена на проміжку,тоді непарне продовження буде
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) = \begin{cases} f(x), & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ f(-x), & x < 0 \end{cases},\ розвинення непарногопродовження: :<math>f_1(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}
- Для будь-якогоНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}
(**)
- Розглянемо формулу (*),тоді отримаємо:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)={ \sqrt{2}\frac}{pi}\\
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {F(alpha)}=\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt
називаэться Косинус-перетвореннямфункціїНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) ,а функція називається Оберненим косинус-перетвореннямдля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
- Аналогічно вводится пряме та обернене синус-перетворенняНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
- Зауваження:
- В деякій літературі пряме синус та косинус-перетворення вводиться з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (\frac{2}{\pi})
,а оберене з 1.
- Функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
називають їїОригіналом,а функції називають ОбразомфункціїНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
у просторі відповідного перетворення.
- Додаткова інформація
- При кутовій зміні частоті,змінюється і циклічна частота при цьому косинус-перетвореняя представляє наступні дві формули:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g_c(w)=2\int_0^\infty f(t)cos(2{\pi\}ft)dt
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)=(\frac{1}{\pi})\int_0^\infty g_c(f)cos((pi))df
