Відмінності між версіями «Косинус та синус перетворення Фур'є»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
Рядок 23: Рядок 23:
 
:Аналогічно вводится пряме та обернене синус-перетворення<math>f(x)</math>
 
:Аналогічно вводится пряме та обернене синус-перетворення<math>f(x)</math>
 
:'''''Зауваження''''':
 
:'''''Зауваження''''':
−
:Пряме синус та косинус-перетворення з <math>(\frac{2}{\pi})</math>,а оберене з 1 та навпаки.
+
:В деякій літературі пряме синус та косинус-перетворення вводиться з <math>(\frac{2}{\pi})</math>,а оберене з 1.
−
:Функція <math>f(x)</math>називають її'''<font color='orange' size=3>Оригіналом</font>''',а функції називають '''<font color='orange' size=3>Образами</font>'''функцій<math>f(x)</math>відносно перетворення.
+
:Функція <math>f(x)</math>називають її'''<font color='orange' size=3>Оригіналом</font>''',а функції називають '''<font color='orange' size=3>Образом</font>'''функції<math>f(x)</math> у просторі відповідного перетворення.
  
−
'''<font color='blue' size=3>Косинус і синус інтеграли Фур'є</font>'''
+
Для косинус та синус - перетворення існують такі таблиці.
−
,породжені дійсною функцією f(t),абсолютна величина якої <math>{\shortmid f(t)\shortmid}</math>інтегрує по інтервалу <math>{0<t<+\infty}</math>,визначається відповідно так:
+
 
 +
:''''''<font color='red' size=3>Косинус-перетворення Фур'є</font>''''''
 +
:<math>{
 +
!f(t)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^\infty c_c(w)cos(wt)dw||c_c(w)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^\infty f(t)cos(wt)dt|
 +
|-
 +
|Иванов||Физика||4
 +
|-
 +
|Иванов||Химия||3
 +
|-
 +
|Петров||Химия||5
 +
|-
 +
|Сидоров||Физика||5
 +
|-
 +
|Сидоров||Химия||4
 +
|}</math>

Версія за 19:15, 18 травня 2010

Розглянемо часткові випадки:
1.Нехай функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

-парна,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) -парна,тоді:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin(\alpha\ t)

-непарна,тоді:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(alpha)}=0;f(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}

Якщо функція f(x)-довільна,визначена на проміжку (0; ,то парне продовження цієї функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_2(x)= \begin{cases} f(x),& x \geqslant 0\\ f(-x), & x < 0 
розвинення парного продовження:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_2(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}
Для будь-якого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}

(*)

2.Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

-непарна,тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) -непарна,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin (\alpha\ t) -парна;Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(alpha)}=0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}

Якщо функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) -довільна,визначена на проміжку,тоді непарне продовження буде

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) = \begin{cases} f(x), & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ f(-x), & x < 0 \end{cases},\ розвинення непарногопродовження: :<math>f_1(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}
Для будь-якогоНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}

(**)

Розглянемо формулу (*),тоді отримаємо:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)={ \sqrt{2}\frac}{pi}\\
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {F(alpha)}=\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt

називаэться Косинус-перетвореннямфункціїНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) ,а функція називається Оберненим косинус-перетвореннямдля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

Аналогічно вводится пряме та обернене синус-перетворенняНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
Зауваження:
В деякій літературі пряме синус та косинус-перетворення вводиться з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (\frac{2}{\pi})

,а оберене з 1.

Функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

називають їїОригіналом,а функції називають ОбразомфункціїНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) 

у просторі відповідного перетворення.

Для косинус та синус - перетворення існують такі таблиці.

'Косинус-перетворення Фур'є'
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {  !f(t)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^\infty c_c(w)cos(wt)dw||c_c(w)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^\infty f(t)cos(wt)dt| |- |Иванов||Физика||4 |- |Иванов||Химия||3 |- |Петров||Химия||5 |- |Сидоров||Физика||5 |- |Сидоров||Химия||4 |}
Отримано з https://wiki.cusu.edu.ua/index.php?title=Косинус_та_синус_перетворення_Фур%27є&oldid=28787