Відмінності між версіями «Циліндричні функції»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
Рядок 11: Рядок 11:
 
: Функція Генкеля II роду:
 
: Функція Генкеля II роду:
 
:<math>{H_m}^{(2)}(z)=J_{m}(z)-iN_{m}(z)</math>
 
:<math>{H_m}^{(2)}(z)=J_{m}(z)-iN_{m}(z)</math>
 +
:Кожна циліндрична функція <math>{Z_m}(z)</math> порядку m може бути представлена як лінійна комбінація <math>J_{m}(k)</math> та <math>N_{m}(k)</math> або лінійними комбінаціями :<math>{H_m}^{(1)}(z)</math> та <math>{H_m}^{(2)}(z)</math>

Версія за 21:48, 17 травня 2010

Циліндричними функціями - називається розвиток рівняння Беселя. У 17 пункті отримано першу циліндричну функцію - функція Беселя I роду у вигляді степеневого ряду. Цю функцію можна записати через γ-функцію:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {J_{m}(z)}=\int_0^\infty {e}^{-t}{t}^{z+1}dt\Rightarrow {I_m(z)}=(\frac{z}{2})^m\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!J(m+k+1)}
Ще однією циліндричною функцією( розв'язком рівняння Беселя) є функція Беселя I роду
Функція Неймана (або Беселя I роду):
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {N_m(z)}=\frac{1}{sinm\pi}[J_m(z)cos\pi-J_{-m}(z)]
якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): m \not\in \mathbf{Z}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {N_m(z)}={(-1)}^mN_{-m}(z)=\frac{2}{\pi}J_m(z)(\ln\frac{z}{2}+c)-\frac{1}{\pi}(\frac{z}{2})^m\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!(m+k)!}(\frac{z}{2})^2k(\sum^{k}_{i=1}\frac{1}{i}+\sum^{m+k}_{i=1}{\frac{1}{i}})-{\frac{1}{\pi}}{(\frac{z}{2})^{-m}}\sum^{m-1}_{k=0}\frac{(m-k-1)!}{k!}(\frac{z}{2})^2k
якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): m \not\in \mathbf{Z}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c=-\int_0^\infty {e}^{-t}lntdt=0.577216

, с - стала Ейлера-Маскероні.

На основі функцій Беселя I та II роду можна побудувати іншу пару циліндричних функцій
Функція Генкеля I роду:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(1)}(z)=J_{m}(z)+iN_{m}(z)
Функція Генкеля II роду:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(2)}(z)=J_{m}(z)-iN_{m}(z)
Кожна циліндрична функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {Z_m}(z)
порядку m може бути представлена як лінійна комбінація Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_{m}(k)
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N_{m}(k)
або лінійними комбінаціями :Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(1)}(z)
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(2)}(z)