Відмінності між версіями «Косинус та синус перетворення Фур'є»
| Рядок 5: | Рядок 5: | ||
f(-x), & x < 0</math> розвинення парного продовження: | f(-x), & x < 0</math> розвинення парного продовження: | ||
:<math>f_2(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}</math> | :<math>f_2(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}</math> | ||
| − | :Для будь-якого <math>x>=0</math>;<math>f(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}</math> | + | :Для будь-якого <math>x>=0</math>;<math>f(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}</math>(*) |
:'''2'''.Нехай <math>f(x)</math>-непарна,тоді <math>f(t)cos (\alpha\ t)</math>-непарна,<math>f(t)sin (\alpha\ t)</math>-парна;<math>{A(alpha)}=0</math> | :'''2'''.Нехай <math>f(x)</math>-непарна,тоді <math>f(t)cos (\alpha\ t)</math>-непарна,<math>f(t)sin (\alpha\ t)</math>-парна;<math>{A(alpha)}=0</math> | ||
| − | :<math>{ | + | :<math>{B(alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt</math> |
| − | :<math>f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}</math>'''<font color='blue' size=3>Косинус і синус інтеграли Фур'є</font>''',породжені дійсною функцією f(t),абсолютна величина якої <math>{\shortmid f(t)\shortmid}</math>інтегрує по інтервалу <math>{0<t<+\infty}</math>,визначається відповідно так: | + | :<math>f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}</math> |
| + | Якщо функція <math>f(x)</math>-довільна,визначена на проміжку,тоді непарне продовження буде | ||
| + | :<math>f(x) = \begin{cases} | ||
| + | f(x), & x > 0 \\ | ||
| + | 0, & x = 0 \\ | ||
| + | f(-x), & x < 0 | ||
| + | \end{cases},\quad x\in \R</math></math>розвинення непарногопродовження: | ||
| + | :<math>f_1(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}</math> | ||
| + | :Для будь-якого<math>x>=0</math> | ||
| + | :<math>f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}</math>(**) | ||
| + | :Розглянемо формулу (*),тоді отримаємо: | ||
| + | :<math>f(x)=\frac{ \sqrt{2}}{2}\\int_0^\infty</math>'''<font color='blue' size=3>Косинус і синус інтеграли Фур'є</font>''',породжені дійсною функцією f(t),абсолютна величина якої <math>{\shortmid f(t)\shortmid}</math>інтегрує по інтервалу <math>{0<t<+\infty}</math>,визначається відповідно так: | ||
Версія за 20:53, 17 травня 2010
- Розглянемо часткові випадки:
- 1.Нехай функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
-парна,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) -парна,тоді:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin(\alpha\ t)
-непарна,тоді:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(alpha)}=0;f(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}
- Якщо функція f(x)-довільна,визначена на проміжку (0; ,то парне продовження цієї функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_2(x)= \begin{cases} f(x),& x \geqslant 0\\ f(-x), & x < 0
розвинення парного продовження:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_2(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}
- Для будь-якого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}
(*)
- 2.Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
-непарна,тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) -непарна,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin (\alpha\ t) -парна;Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(alpha)}=0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}
Якщо функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) -довільна,визначена на проміжку,тоді непарне продовження буде
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) = \begin{cases} f(x), & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ f(-x), & x < 0 \end{cases},\quad x\in \R
</math>розвинення непарногопродовження:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_1(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}
- Для будь-якогоНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}
(**)
- Розглянемо формулу (*),тоді отримаємо:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\frac{ \sqrt{2}}{2}\\int_0^\infty
Косинус і синус інтеграли Фур'є,породжені дійсною функцією f(t),абсолютна величина якої Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\shortmid f(t)\shortmid} інтегрує по інтервалу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {0<t<+\infty} ,визначається відповідно так:
