Відмінності між версіями «Розв’язок рівняння Лапласа у циліндричних координатах. Рівняння Беселя»
| Рядок 24: | Рядок 24: | ||
Оператор Лапласа еквівалентний послідовному взяття операцій [[градієнт]]а і [[Дивергенція | дивергенції]]: <math>\Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}</math>, таким чином значення оператора Лапласа у точці може бути витлумачено як щільність джерел (стоків) [[Потенційне поле | потенційного векторного поля]] <math>\ \operatorname{grad}F</math> в цій точці. У декартовій системі координат оператор Лапласа часто позначається наступним чином <math>\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2</math>, тобто у вигляді скалярного добутку [[Оператор Набла | оператора Набла]] на себе. | Оператор Лапласа еквівалентний послідовному взяття операцій [[градієнт]]а і [[Дивергенція | дивергенції]]: <math>\Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}</math>, таким чином значення оператора Лапласа у точці може бути витлумачено як щільність джерел (стоків) [[Потенційне поле | потенційного векторного поля]] <math>\ \operatorname{grad}F</math> в цій точці. У декартовій системі координат оператор Лапласа часто позначається наступним чином <math>\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2</math>, тобто у вигляді скалярного добутку [[Оператор Набла | оператора Набла]] на себе. | ||
| + | |||
| + | == Вирази для оператора Лапласа у різних криволінійних системах координат == | ||
| + | У довільних ортогональних криволінійних координатах в тривимірному просторі | ||
| + | <math>q_1,\ q_2,\ q_3</math>: | ||
| + | : <math>\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) = </math> | ||
| + | : <math>=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],</math> | ||
| + | : де <math>H_i\ </math> — коефіцієнти Ляме. | ||
| + | |||
| + | === [[Циліндричні координати]] === | ||
Версія за 17:43, 17 травня 2010
Рівняння Лапласа - однорідне лінійне рівняння в часткових похідних другого порядку еліптичного типу.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0
.
Рівняння Лапласа описує електростатичне поле в просторі без електричних зарядів. Рівнянням Лапласа описується стаціонарний розподіл температури у просторовому тілі.
Функції, які задовільняють рівнянню Лапласа, називаються гармонічними.
Відповідне неоднорідне рівняння називається рівнянням Пуассона.
Рівняння Лапласа - рівняння в частинних похідних. У тривимірному просторі рівняння Лапласа записується так:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0
і є частковим випадком рівняння Гельмгольца.
У двовимірному просторі рівняння Лапласа записується:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0
Також і вn-вимірному просторі. У цьому випадку до нуля прирівнюється сумаnдругих похідних.
За допомогою диференціального оператора
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \triangle = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + ...
- оператора Лапласа - це рівняння записується (для будь-якої розмірності) однаково як Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \triangle u = 0
Оператор Лапласа - диференціальний оператор, який діє в лінійному просторі гладких функцій, який позначають символом Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \Delta
. Функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F\
він ставить у відповідність функцію Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F
.
Оператор Лапласа еквівалентний послідовному взяття операцій градієнта і дивергенції: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad} , таким чином значення оператора Лапласа у точці може бути витлумачено як щільність джерел (стоків) потенційного векторного поля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \operatorname{grad}F
в цій точці. У декартовій системі координат оператор Лапласа часто позначається наступним чином Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2
, тобто у вигляді скалярного добутку оператора Набла на себе.
Вирази для оператора Лапласа у різних криволінійних системах координат
У довільних ортогональних криволінійних координатах в тривимірному просторі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): q_1,\ q_2,\ q_3
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],
- де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_i\
— коефіцієнти Ляме.
