Відмінності між версіями «Дії над рядами»
Матеріал з Вікі ЦДУ
(Створена сторінка: '''<font color='red' size=3>Теорема</font>''' :Нехай задано 2 ряди Фур’є, які відповідають функціям <math>f(x)</…) |
|||
| Рядок 16: | Рядок 16: | ||
Отже: <math>{C}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}</math> | Отже: <math>{C}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}</math> | ||
Теорему доведено <math>\blacksquare</math> | Теорему доведено <math>\blacksquare</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | [[category: Вибрані статті з математичного аналізу]] | ||
Версія за 16:46, 17 травня 2010
Теорема
- Нехай задано 2 ряди Фур’є, які відповідають функціям Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{e}^{ikx}
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)=\sum^{+\infty}_{m=-\infty} {d}_{m}{e}^{imx}
- Тоді коефіцієнти функції добутку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}({f}\cdot{g})
отримуються у вигляді згортки коефіцієнтів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c}_{k}
i Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {d}_{m}
, тобто Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}
від добутку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}
Доведення.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f(x)}\cdot{g(x)}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{e}^{ikx}\cdot\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{d}_{m}{e}^{imx}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{c}_{k}{d}_{m}{e}^{i(k+m)x}=
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =[n=k+m; m=n-k]=
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\sum^{+\infty}_{n=-\infty}{c}_{k}{d}_{n-k}{e}^{inx}=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}(\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{d}_{n-k}){e}^{inx}
Отже: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}
Теорему доведено Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \blacksquare
