Відмінності між версіями «Задача СП з розв’язувальним розподілом за умови детермінованих параметрів умов обмежень. Дискретний розв’язувальний розподіл.»

Версія за 02:23, 21 грудня 2020

Постановка задачі:

У задачах першого класу з детермінованими параметрами умов потрібно обчислити розподіл Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{x}

 вектора х при якому:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M\phi_{0} (x) =\int \phi_{0} dF_{x} \rightarrow inf , (19.1)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M\phi_{i} (x) =\int \phi_{i} dF_{x} \leqslant 0, i=1,2,...,m , (19.2)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\in X , (19.3)

де Х задана множина в n-вимірному евклідовому просторі.

Введемо нові змінні: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y ^ = \phi_{i}(x) , (19.4)

Відображення (19.4) переводить множину Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ X \subset R ^n , в Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ X \subset R^{(m+1)} .

В цьому випадку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Y - не випукла і незамкнута множина.

Позначемо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ co Y , випуклу множину Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Y .

Задача (19.1) - (19.3) може бути записана в вигляді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ y_0 \rightarrow inf , (19.5)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ y_i \le 0, i = 1,...m, , (19.6)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ y = (y_0, y_1, ... , y_m)\in co Y , (19.6)

Згідно теореми Каретеодорі для побудови випуклої оболонки множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Y

із  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ m+1 
- вимірного простору потрібно загалом не більш Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ m+2 
точок Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ y \in  Y 

. Це значить, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ co Y

може бути представлена в вигляді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ co Y= {\sum^{m+1}_{k=0}\phi_{i}(x_{k})p_{k}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ i = 0,1,...m, ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \ p_{k}\ge 0, ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{m+1}_{k=0} p_{k}=1 ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_{k}\in X .

Нас цікавлять тільки точки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ y \in Y \subset R^{(m+1)} ,одна з координат яких Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ (y_0)

досягає свого екстремального значення. Такі точки відповідно з наслідком теореми Каратеодорі можуть бути представлені як випуклі комбінації не більш ніж Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ m+1 
векторів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_{k}\in X 
і  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ m+1 
чисел Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ p_{k} 
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \  (k = 1,...m),  

, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ p_{k}\ge 0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{m}_{k=0} p_{k}=1 .

Таким чином, задача (19.1) - (19.3) еквівалентна наступній скінченномірній задачі:

Потрібно обчислити вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_{k}

і числа Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \ p_{k} 

, які визначають нижню межу функціонала

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ {\sum^{m}_{k=0}\phi_{0}(x_{k})p_{k}}

(19.8)

За умови:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ {\sum^{m}_{k=0}\phi_{i}(x_{k})p_{k}\le 0 \ i = 1,...m}

(19.9)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_{k}\in X, \ p_{k}\ge 0 , \ k = 0,1,...m, \sum^{m}_{k=0} p_{k}=1 ,(19.10)

Вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x\ast_{k}

і числа Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \ p\ast_{k} 

, що становить оптимальний план задачі (19.8) - (19.10), визначають дискретний розв'язувальний розподіл вихідної задачі (19.1) - (19.3).

Для розв'язку задачі (19.8) - (19.10) використаємо ітеративний метод. Зафіксуємо довільним чином Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ m+1

точку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_{k}\in X,  \  k = 0,1,...m,
, і розв'яжемо отриману при цьому задачу лінійного програмування (19.8) - (19.10).

Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ p ^{(1)}=(p_{0} ^{(1)},...,p_{m} ^{(1)}) , i Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \lambda^{(1)}=(\lambda_{0} ^{(1)},...,\lambda_{m+1} ^{(1)}) , - розв'язок прямої і двоїстої задачі. Введемо в базис задачі новий розширений вектор умов Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ (\psi_{0}(x), \psi_{1}(x),...,\psi_{m}(x),1)^T

так, щоб значення цільового функціоналу (19.8) при цьому зменшилося.

Відповідна точка Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x\in X

повинна задовольняти умову:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{m}_{k=0}\lambda_{i} ^{(1)}\phi_{i}{x}+\lambda_{m+1} ^{(1)}< -\psi_{0}(x)

.

Нову точку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_{m+1}

можна обчислити в результаті розв'язку допоміжної задачі.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \psi_{0}(x)=\sum^{m}_{k=0}\lambda_{i} ^{(1)}\phi_{x}\longrightarrow min ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x\in X

.

Обчислив Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_{m+1} , знаходим новий розв'язок лінійної задачі (19.8) - (19.10) і двоїстої до неї і т.д.

Зрозуміло, що для реалізації інеративного методу достатньо на кожній ітерації зберігати в пам'яті не більш Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ m+2

точок Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_{k}

.

Виконала: Юрченко Тетяна Сергіївна

Редагували: Лисенко Наталія , Токарь Володимир