Відмінності між версіями «Приклади однорідних диференціальних рівнянь;»
Lilit (обговорення • внесок) (→Приклади однорідних диференціальних рівнянь) |
Lilit (обговорення • внесок) (→Приклади однорідних диференціальних рівнянь) |
||
Рядок 3: | Рядок 3: | ||
Диференціальне рівняння другого порядку | Диференціальне рівняння другого порядку | ||
<p align=center><math> D^2 y = -k^2 y,</math></p> | <p align=center><math> D^2 y = -k^2 y,</math></p> | ||
− | що описує простий гармонічний осцилятор, можна переформулювати | + | що описує простий [[гармонічний осцилятор]], можна переформулювати |
<p align=center><math>(D^2 + k^2) y = 0</math>.</p> | <p align=center><math>(D^2 + k^2) y = 0</math>.</p> | ||
Вираз в дужках може бути факторизований, що дає | Вираз в дужках може бути факторизований, що дає |
Версія за 01:17, 22 травня 2014
Приклади однорідних диференціальних рівнянь
Простий гармонічний осцилятор
Диференціальне рівняння другого порядку
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): D^2 y = -k^2 y,
що описує простий гармонічний осцилятор, можна переформулювати
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (D^2 + k^2) y = 0 .
Вираз в дужках може бути факторизований, що дає
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (D + i k) (D - i k) y = 0 ,
це рівняння має пару лінійно незалежних розв'язків, один для
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (D - i k) y = 0 \,
інший для
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (D + i k) y = 0 .
Розв'язки, відповідно,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_0 = A_0 e^{i k x}
та
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_1 = A_1 e^{-i k x} .
Ці розв'язки є базисом двовимірного «простору розв'язків» диференціального рівняння другого порядку. Крім того,для
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{0'} = {A_0 e^{i k x} + A_1 e^{-i k x} \over 2} = C_0 \cos (k x)
та
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{1'} = {A_0 e^{i k x} - A_1 e^{-i k x} \over 2 i} = C_1 \sin (k x) .
-останні тригонометричні розв'язки лінійно незалежні, а тому можуть слугувати іншим базисом простору розв'язків, що дає таку загальну форму розв'язку:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_H = C_0 \cos (k x) + C_1 \sin (k x) .
Затухаючий гармонічний осцилятор
Враховуючи рівняння затухаючого гармонічного осцилятора:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left(D^2 + {b \over m} D + \omega_0^2\right) y = 0 ,
отримаємо спочатку характеристичне рівняння формальною заміною D на λ. Це рівняння має виконуватися для всіх у, наступним чином:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda^2 + {b \over m} \lambda + \omega_0^2 = 0 .
Розв'яжемо:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda = {-b/m \pm \sqrt{b^2 / m^2 - 4 \omega_0^2} \over 2} .
Використаємо ці дані для розкладу вихідного диференціального рівняння:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left(D + {b \over 2 m} - \sqrt{{b^2 \over 4 m^2} - \omega_0^2} \right) \left(D + {b \over 2m} + \sqrt{{b^2 \over 4 m^2} - \omega_0^2}\right) y = 0 .
Це визначає пару рішень, з яких одне відповідає
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left(D + {b \over 2 m} - \sqrt{{b^2 \over 4 m^2} - \omega_0^2} \right) y = 0
а інше
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left(D + {b \over 2m} + \sqrt{{b^2 \over 4 m^2} - \omega_0^2}\right) y = 0
Розв'язки, відповідно,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_0 = A_0 e^{-\omega x + \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} = A_0 e^{-\omega x} e^{\sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x}
та
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_1 = A_1 e^{-\omega x - \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} = A_1 e^{-\omega x} e^{-\sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x}
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ω = B / 2
. З цієї пари лінійно незалежних рішень можна побудувати іншу лінійно незалежну пару, що таким чином, слугуватиме базисом для двовимірного простору рішень:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_H (A_0, A_1) (x) = \left(A_0 \sinh \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x + A_1 \cosh \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x\right) e^{-\omega x} .
Однак, якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): | ω | <| ω 0 | , то бажано позбутися уявних частин, виражаючи загальний розв'язок як
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_H (A_0, A_1) (x) = \left(A_0 \sin \sqrt{\omega_0^2 - \omega^2} x + A_1 \cos \sqrt{\omega_0^2 - \omega^2} x\right) e^{-\omega x} .
Останній розв'язок відповідає слабко затухаючому випадку, тоді як попередній відповідає сильно затухаючому разі: розв'язок для слабко загальмованого випадку коливатиметься, а для розв'язку сильно загальмованого випадку це не так.