Відмінності між версіями «Детермінована задача, еквівалентна до двохетапної задачі СП.»

Поточна версія на 08:10, 24 травня 2021

Побудуємо детерміновану задачу, еквівалентну до двохетапної задачі стохастичного програмування.

Розв'язком еквівалентної задачі є попередній план Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x . По складовим оптимального попереднього плану і реалізаціям параметрів умов будується задача другого етапу - задача лінійного програмування, розв'язок якої визначає необхідну компенсацію плану. Еквівалентна детермінована задача має вигляд Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_{x\in K}Q(x)

До цього ми вивчали область визначення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ K

попередніх планів двохетапної задачі. Далі дослідимо цільовий функціонал Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x) 
- показник якості попереднього плану.

Виразимо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x)

через статистичні характеристики параметрів умов задачі і доведемо, що детермінована задача, еквівалентна задачі СП, є задачею опуклого програмуваня.

Розглянемо задачу другого етапу

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(x, A, b)=\min_{\ y}q(y) (3.4)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ {By=b-Ax} (3.5) ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y \geqslant 0 (3.6)

та двоїсту до неї

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x, A, b)=\max_{\ z}z(b-Ax) (3.8)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): zB \leqslant q

(3.9)

для кожного Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x, A, b .

Будемо вважати, що задача другого етапу, а отже, і двоїста до неї задачі розв'язні.

За теоремою двоїстості для лінійного програмування

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ P(x, A, b)= Q(x, A, b)= z*(A, b, x)(b-Ax) ,

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z*(A, b, x)

- розв'язок задачі (3.8)-(3.9).

Враховуючи введені позначення, двохетапну задачу (1.8)-(1.10) переписати наступним чином:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_{x\in K}Q(x)=\min_{x\in K}{\bar{c}x+MQ(x, A, b)}

або

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{c}x+M[z*(A, b, x)(b-Ax)]\rightarrow min,

(4.1)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x \in K

Має місце твердження.

Теорема 4.1. Нехай матриця Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ B

задовольняє умовам теореми 3.3 і множина планів задачі (3.8)-(3.9) не порожня. Тоді цільова функція (4.1) еквівалентної детермінованої задачі скінченна для будь-якого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  x \in K_2

.

Наступне твердження є теоретичною основою для побудови чисельних методів розв'язання двохетапної задачі.

Теорема 4.2. Детермінована задача (4.1)-(4.2), еквівалентна двохетапній задачі (1.8)-(1.10), є задачею опуклого програмування.

Доведення. Відповідно теоремі 2.2. множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K

попередніх планів опукла. Залишається довести, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x)
опукла вниз по Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x

. Для цього достатньо показати, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x,A,b)

опукла по Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x
для всіх Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b

.

Опукла функція – функція, яка визначена на опуклій множині лінійного простору, і задовольняє нерівності

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(\lambda x+(1-\lambda)y) \leq \lambda f+(1-\lambda) , при всіх Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda\in[0,1] .

Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_1,x_2\in K

а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^*(A,b,x_1)
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^*(A,b,x_2)
- відповідні розв’язки задачі (3.8)-(3.9). Тоді

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^*(A,b,x_1 )(b-Ax_1 )\geq z*(A,b,\lambda x_1+(1-\lambda) x_2 )(b-Ax_1 )

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^*(A,b,x_2 )(b-Ax_2 )\geq z*(A,b,\lambda x_1+(1-\lambda) x_2 )(b-Ax_2 )

Помноживши першу нерівність на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda , а другу на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (1-\lambda)

і додавши їх, отримаємо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda z^*(A,b,x_1 )(b-Ax_1 )+(1-\lambda)z^*(A,b,x_2 )(b-Ax_2 )\geq z^*(A,b,\lambda x_1+(1-\lambda) x_2 )(b-A(\lambda x_1+(1-\lambda) x_2 ))

Отже, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x,A,b)

опукла пo Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x
при всіх Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b

.

Тоді і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x)=c\bar{x}+\int\limits_{\Omega} Q(x,A,b)\,dp

також опукла по Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x

. Теорема доведена.

Зауважимо, що з опуклості функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x)

випливає її неперервність у всіх внутрішніх точках опуклої множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ K

.

Для побудови методів розв'язання двохетапної задачі доцільно знайти вираз для опорного функціоналу до Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x)

і встановити умови диференційованості Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x)

.

Нагадаємо, що лінійний функціонал Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ l

називається опорним для опуклого вниз функціоналу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \phi (\lambda) 
(/субградієнтом до Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \phi (\lambda) 
) у точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \lambda_0 \in \Lambda

, якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi (\lambda)-\phi (\lambda_0) \geq (l, \lambda-\lambda_0)

при всіх Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \lambda \in \Lambda

.

Теорема 4.3. Функціонал

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M{c-z^*(A, b, x_0)A}=\int\limits_{\Omega}{c(\omega)-z^*[A(\omega), b(\omega), x_0]A(\omega)}dp

є опорним до цільового функціоналу (4.1) еквівалентної детермінованої задачі у точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_0 \in K .

Доведення. Функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z^*(A, b, x)

за означенням є розв'язком задачі (3.8)-(3.9) для заданого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  x \in K
і фіксованого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ A 
i Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ b

. Звідси,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): cx+z^*(A, b, x)(b-Ax) \geq cx+z^*(a, b, x_0)(b-Ax) ,

або, що те ж саме,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [c-z^*(A, b, x)A]x+z^*(A, b, x)b \geq [c-z^*(A, b, x)A]x+z^*(A, b, x_0)b .

За означенням

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x)=\bar{c}x+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x)(b-Ax)dp .

Тому з останньої рівності випливає, що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x) \geq \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]xdp+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x_0)bdp .

З іншої сторони,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x_0) = \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]x_0dp+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x_0)bdp .

Звідси випливає, що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x)-Q(x_0)\geq \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]xdp \cdot (x-x_0) , (4.3)

що й треба було довести.

Якщо виконуються умови теореми 4.1 і ймовірнісна міра у просторі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ A , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ b

абсолютно неперервні відносно міри Лебега у просторі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ A

, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ b , (тобто ймовірність попасти у шар достатньо малого радіуса скільки завгодно мала), то цільова функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x)

еквівалентної детермінованої задачі всюди на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ K 
неперервно диференційована.

Виконала: Кухаренко Анастасія

Редагувала: Хачатрян Ліліт

@@ Рядок 1: / Рядок 1: @@
-Побудуємо детерміновану задачу, еквівалентну до двохетапної задачі стохастичного програмування. Розв'язко еквівалентної задачі є попередній план ''х''. По складовим оптимального попереднього плану і реалізаціям ппараметрів умов будується задача другого етапу - задача лінійного програмування, розв'язок якої визначає необхідну компенсацію плану.
+<font size=3> Побудуємо детерміновану задачу, еквівалентну до двохетапної задачі стохастичного програмування. </font>
-Еквівалентна детермінована задача має вигляд
+<font size=3> Розв'язком еквівалентної задачі є попередній план <math>\ x </math>. По складовим оптимального попереднього плану і реалізаціям параметрів умов будується задача другого етапу - задача лінійного програмування, розв'язок якої визначає необхідну компенсацію плану. </font>
-<math> \min_{x\in K}Q(x) </math>.
+<font size=3> Еквівалентна детермінована задача має вигляд </font>
+<math> \min_{x\in K}Q(x) </math>
-Дотепер ми вивчали область визначення ''K'' попередніх планів двохетапної задачі. Дослідимо тепер цільовий функціонал ''Q(x)'' - показник якості попереднього плану.
+<font size=3> До цього ми вивчали область визначення <math>\ K </math> попередніх планів двохетапної задачі. Далі дослідимо цільовий функціонал <math>\ Q(x) </math> - показник якості попереднього плану. </font>
-Виразимо ''Q(x)'' через статистичні характеристики параметрів умов задачі і доведемо, що детермінована задача, еквівалентна задачі СП, є задачею опуклого програмуваня.
+<font size=3> Виразимо <math>\ Q(x) </math> через статистичні характеристики параметрів умов задачі і доведемо, що детермінована задача, еквівалентна задачі СП, є задачею опуклого програмуваня. </font>
-Розглянемо задачу другого етапу
+<font size=3> '''Розглянемо задачу другого етапу''' </font>
-<math> P(x, A, b)=\min_{\ y}q(y)  (3.4)</math>
+<math> P(x, A, b)=\min_{\ y}q(y)  (3.4) </math>
-<math>  By=b-Ax,  (3.5)</math>
+<math>\  {By=b-Ax}  (3.5) </math>,
-<math> y \geqslant 0 (3.6)</math>
+<math> y \geqslant 0 (3.6) </math>
-та двоїсту до неї
+<font size=3> та двоїсту до неї </font>
 <math> Q(x, A, b)=\max_{\ z}z(b-Ax)  (3.8)</math>
@@ Рядок 22: / Рядок 23: @@
 <math> zB \leqslant q</math> (3.9)
-для кожного ''x, A, b''.
+<font size=3> для кожного  <math>\ x, A, b </math>. </font>
-Будемо вважати, що задача другого етапу, а отже, і двоїста до неї задачі розв'язні.
+<font size=3> Будемо вважати, що задача другого етапу, а отже, і двоїста до неї задачі розв'язні.</font>
-За теоремою двоїстості для лінійного програмування
+<font size=3> За теоремою двоїстості для лінійного програмування </font>
-<math> P(x, A, b)=Q(x, A, b)=z*(A, b, x)(b-Ax) </math>,
+<math>\ P(x, A, b)= Q(x, A, b)= z*(A, b, x)(b-Ax) </math>,
-де ''z*(A, b, x)'' - розв'язок задачі (3.8)-(3.9).
+<font size=3> де <math>\ z*(A, b, x) </math> - розв'язок задачі (3.8)-(3.9).</font>
-Враховуючи введені позначення, можна тепер двохетапну задачу (1.8)-(1.10) переписати наступним чином:
+<font size=3> Враховуючи введені позначення, двохетапну задачу (1.8)-(1.10) переписати наступним чином: </font>
 <math> \min_{x\in K}Q(x)=\min_{x\in K}{\bar{c}x+MQ(x, A, b)} </math>
-або
+<font size=3> або </font>
+<math> \bar{c}x+M[z*(A, b, x)(b-Ax)]\rightarrow min, </math> (4.1)
+<math> x \in K</math>
+<font size=3> Має місце твердження. </font>
+<font size=3> '''Теорема 4.1.''' Нехай матриця <math>\ B </math> задовольняє умовам теореми 3.3 і множина планів задачі (3.8)-(3.9) не порожня. Тоді цільова функція (4.1) еквівалентної детермінованої задачі скінченна для будь-якого <math> x \in K_2</math>. </font>
+<font size=3> Наступне твердження є ''теоретичною основою'' для побудови чисельних методів розв'язання двохетапної задачі. </font>
+<font size=3> '''Теорема 4.2.''' Детермінована задача (4.1)-(4.2), еквівалентна двохетапній задачі (1.8)-(1.10), є задачею опуклого програмування. </font>
+<font size=3> '''Доведення.''' Відповідно теоремі 2.2. множина <math>K</math> попередніх планів опукла. Залишається довести, що <math>Q(x)</math> опукла вниз по <math>x</math>. Для цього достатньо показати, що <math>Q(x,A,b)</math> опукла по <math>x</math> для всіх <math>A</math> і <math>b</math>.
+<font size=3> '''Опукла функція''' – функція, яка визначена на опуклій множині лінійного простору, і задовольняє нерівності
+<math> f(\lambda x+(1-\lambda)y) \leq \lambda f+(1-\lambda) </math>, при всіх <math>\lambda\in[0,1]</math>.
+<font size=3> Нехай <math>x_1,x_2\in K</math> а <math>z^*(A,b,x_1)</math> та <math>z^*(A,b,x_2)</math> - відповідні розв’язки задачі (3.8)-(3.9). Тоді
+<math>z^*(A,b,x_1 )(b-Ax_1 )\geq z*(A,b,\lambda x_1+(1-\lambda) x_2 )(b-Ax_1 )</math>
+<math>z^*(A,b,x_2 )(b-Ax_2 )\geq z*(A,b,\lambda x_1+(1-\lambda) x_2 )(b-Ax_2 )</math>
+<font size=3> Помноживши першу нерівність на <math>\lambda</math>, а другу на <math>(1-\lambda)</math> і додавши їх, отримаємо:
+<math>\lambda z^*(A,b,x_1 )(b-Ax_1 )+(1-\lambda)z^*(A,b,x_2 )(b-Ax_2 )\geq z^*(A,b,\lambda x_1+(1-\lambda) x_2 )(b-A(\lambda x_1+(1-\lambda) x_2 ))</math>
+Отже, <math>Q(x,A,b)</math> опукла пo <math>x</math> при всіх <math>A</math> і <math>b</math>.
+Тоді і <math>Q(x)=c\bar{x}+\int\limits_{\Omega} Q(x,A,b)\,dp </math> також опукла по <math>x</math>. '''Теорема доведена.'''
+<font size=3>Зауважимо, що з опуклості функції <math>\ Q(x)</math> випливає її неперервність у всіх внутрішніх точках опуклої множини <math>\ K </math>.   </font>
+<font size=3> Для побудови методів розв'язання двохетапної задачі доцільно знайти вираз для опорного функціоналу до <math>\ Q(x) </math> і встановити умови диференційованості <math>\ Q(x) </math>. </font>
+<font size=3> Нагадаємо, що лінійний функціонал <math>\ l </math> називається опорним для опуклого вниз функціоналу <math>\ \phi (\lambda) </math> (/субградієнтом до <math>\ \phi (\lambda) </math> ) у точці <math> \lambda_0 \in \Lambda</math>, якщо <math> \phi (\lambda)-\phi (\lambda_0) \geq (l, \lambda-\lambda_0)</math> при всіх <math> \lambda \in \Lambda </math>. </font>
+<font size=3> '''Теорема 4.3.''' Функціонал </font>
+<math> M{c-z^*(A, b, x_0)A}=\int\limits_{\Omega}{c(\omega)-z^*[A(\omega), b(\omega), x_0]A(\omega)}dp </math>
+<font size=3> є опорним до цільового функціоналу (4.1) еквівалентної детермінованої задачі у точці <math> x_0 \in K </math>. </font>
+<font size=3> '''Доведення'''. Функція <math>\ z^*(A, b, x) </math> за означенням є розв'язком задачі (3.8)-(3.9) для заданого <math> x \in K</math> і фіксованого <math>\ A </math> i <math>\ b </math>. Звідси, </font>
+<math> cx+z^*(A, b, x)(b-Ax) \geq cx+z^*(a, b, x_0)(b-Ax) </math>,
+<font size=3> або, що те ж саме, </font>
+<math> [c-z^*(A, b, x)A]x+z^*(A, b, x)b \geq [c-z^*(A, b, x)A]x+z^*(A, b, x_0)b </math>.
+<font size=3> За означенням </font>
+<math> Q(x)=\bar{c}x+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x)(b-Ax)dp </math>.
+<font size=3> Тому з останньої рівності випливає, що </font>
+<math> Q(x) \geq \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]xdp+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x_0)bdp </math>.
+<font size=3> З іншої сторони, </font>
+<math> Q(x_0) = \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]x_0dp+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x_0)bdp </math>.
+<font size=3> Звідси випливає, що </font>
+<math> Q(x)-Q(x_0)\geq  \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]xdp \cdot (x-x_0) </math>, (4.3)
+<font size=3> що й треба було довести. </font>
+<font size=3> Якщо виконуються умови теореми 4.1 і ймовірнісна міра у просторі <math>\ A </math>, <math>\ b </math> абсолютно неперервні відносно міри Лебега у просторі <math>\ A </math>, <math>\ b </math>, (тобто ймовірність попасти у шар достатньо малого радіуса скільки завгодно мала), то цільова функція <math>\ Q(x)</math> еквівалентної детермінованої задачі всюди на <math>\ K </math> неперервно диференційована.
+Виконала: [[Користувач:Кухаренко Настя|Кухаренко Анастасія]]
+Редагувала: [[Користувач:9190313|Хачатрян Ліліт]]

Відмінності між версіями «Детермінована задача, еквівалентна до двохетапної задачі СП.»

Поточна версія на 08:10, 24 травня 2021

Навігаційне меню

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Пошук

Інструменти

портфоліо