Відмінності між версіями «Дві часткові стохастичні моделі з розв'язувальними правилами нульового порядку.»
(не показані 11 проміжних версій 3 учасників) | |||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
− | Розглянемо 2 часткові P-моделі з детермінованими обмеженнями і випадковими коефіцієнтами лінійної форми. Побудуємо відповідні детерміновані еквіваленти. | + | <font size=3> Розглянемо 2 часткові [[Класифікація задач стохастичного програмування: за виглядом цільової функції та за умовами обмеження.|P-моделі]] з детермінованими обмеженнями і випадковими коефіцієнтами лінійної форми. Побудуємо відповідні детерміновані еквіваленти. |
− | Нехай потрібно | + | <font size=3> Нехай потрібно максимізувати |
<math>P(cx\leq{k})\to{max}</math> (1) | <math>P(cx\leq{k})\to{max}</math> (1) | ||
Рядок 11: | Рядок 11: | ||
<math>x\geq{0}</math> (3) | <math>x\geq{0}</math> (3) | ||
− | Елементи матриці А та компоненти вектора b детерміновані, а компоненти вектора c випадкові. | + | <font size=3> Елементи матриці А та компоненти вектора b детерміновані, а компоненти вектора c випадкові. |
− | Припускають, що | + | <font size=3> Припускають, що розв'язок задачі (1)-(3) визначається серед детермінованих векторів. |
− | До схеми виду (1)-(3) зводиться задача планування виробництва при випадкових втратах, | + | <font size=3> До схеми виду (1)-(3) зводиться задача планування виробництва при випадкових втратах, пов'язаних з реалізацією різних технологічних способів. Оптимальний план повинен максимізувати ймовірність того, що сумарні затрати не перевищать деякої, заданої вищою організацією, величини. |
'''Модель №1.''' | '''Модель №1.''' | ||
Рядок 55: | Рядок 55: | ||
В силу прийнятих припущень випадкова величина <math>\eta</math> нормально розподілена: <math>\eta\in N(0,1)</math>. Тому | В силу прийнятих припущень випадкова величина <math>\eta</math> нормально розподілена: <math>\eta\in N(0,1)</math>. Тому | ||
− | <math>P(cx\leq{k})=P(\eta\leq{\eta_0})=1 | + | <math>P(cx\leq{k})=P(\eta\leq{\eta_0})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\eta_{0}}{e^{-t^2/2}}</math> |
+ | |||
+ | Відповідно, максимізація цільової функції (1) може бути замінена максимізацією | ||
+ | |||
+ | <math>\eta_{0}=\frac{k-\sum^{n}_{j=1} {\mu_j x_j}}{\sqrt{\sum^{n}_{j=1} {\sigma_j^2 x_j^2}}}</math> | ||
+ | |||
+ | При <math>~\mu_j=0</math> задача зводиться до задачі квадратичного програмування: | ||
+ | |||
+ | <math>\sum^{n}_{j=1} {\sigma_j^2 x_j^2}\to min</math> | ||
+ | |||
+ | <math>Ax\geq{b}</math>, <math>x\geq{0}</math> | ||
+ | |||
+ | Причому розв'язок не залежить від величини заданого порогу k [1, c. 77]. | ||
+ | |||
+ | В загальному випадку задача являє собою задачу дробово-лінійного програмування. Методи аналізу таких задач можуть бути основані, наприклад, на результатах робіт [2,3]. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==Список використаних джерел== | ||
+ | 1. Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. / Юдин Д. Б. М: «Сов. радио», 1974. – 400 с. | ||
+ | |||
+ | 2. Гольштейн Е. Г. Двойственные задачи выпуклого и дробновыпуклого програмирования в функциональных пространствах. В кн.: " Исследования по математическому програмированию", М.,"Наука", 1968. | ||
+ | |||
+ | 3. Динкельбах (Dinkelbach W.). On nonlinear fractional programming. "Manag. Sci.", 1967, v. 13, №7. | ||
+ | |||
+ | Виконала: [[Користувач:Кухаренко Настя|Кухаренко Анастасія]] | ||
+ | Редагувала: [[Користувач:Анастасія Крячко | Крячко Анастасія]] |
Поточна версія на 08:00, 8 квітня 2019
Розглянемо 2 часткові P-моделі з детермінованими обмеженнями і випадковими коефіцієнтами лінійної форми. Побудуємо відповідні детерміновані еквіваленти.
Нехай потрібно максимізувати
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(cx\leq{k})\to{max}
(1)
за умов
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Ax\geq{b}
(2)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\geq{0}
(3)
Елементи матриці А та компоненти вектора b детерміновані, а компоненти вектора c випадкові.
Припускають, що розв'язок задачі (1)-(3) визначається серед детермінованих векторів.
До схеми виду (1)-(3) зводиться задача планування виробництва при випадкових втратах, пов'язаних з реалізацією різних технологічних способів. Оптимальний план повинен максимізувати ймовірність того, що сумарні затрати не перевищать деякої, заданої вищою організацією, величини.
Модель №1.
В цій моделі випадковий вектор Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~c=c(\omega)
припускається рівним Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~c=c_{0}+c_{1}\tau(\omega)
, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~c_{0},c_{1}
– детерміновані вектори,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\tau(\omega) – випадкова величина.
Припускають також, що гіперплощина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~c_{1}x=0
не перетинається з многогранною множиною (2)-(3). Нехай для визначеності в точках множини (2)-(3) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~c_{1}x>0
Детермінована задача представляє собою наступну задачу дробово-лінійного програмування:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\frac{k-c_{0}x}{c_{1}x}}\to{max}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Ax\geq{b}
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\geq{0}
Дійсно за прийнятих припущень:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(cx\leq{k})=P\{\omega:c(\omega)x\leq{k}\}=P\{\omega:\tau(\omega)\leq{\frac{k-c_{0}x}{c_{1}x}}\}
Модель №2.
В цій моделі компоненти Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~c_j
випадкового вектора c припускаються нормально розподіленими з параметрами Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\mu_j,\sigma_j
, тобто Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_j\in N(\mu_j,\sigma_j) .
Припускають також, що точка x=0 не є планом задачі.
Детермінований еквівалент представляє собою задачу нелінійного, точніше неопуклого, програмування:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Big[\Big(k-\sum^{n}_{j=1} {\mu_j x_j}\Big)\Big(\sum^{n}_{j=1} {\sigma_j^2 x_j^2}\Big)^{-1/2}\Big]\to max
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Ax\geq{b}
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\geq{0}
Дійсно за прийнятих припущень:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(cx\leq{k})=P\Bigg(\sum^{n}_{j=1} {c_j x_j}\leq{k}\Bigg)=P\Bigg\{\frac{\sum^{n}_{j=1} {c_j x_j}-\sum^{n}_{j=1} {\mu_j x_j}}{\sqrt{\sum^{n}_{j=1} {\sigma_j^2 x_j^2}}}\leq{\frac{k-\sum^{n}_{j=1} {\mu_j x_j}}{\sqrt{\sum^{n}_{j=1} {\sigma_j^2 x_j^2}}}}\Bigg\}=P(\eta\leq{\eta_0})
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \eta=\frac{\sum^{n}_{j=1} {c_j x_j}-\sum^{n}_{j=1} {\mu_j x_j}}{\sqrt{\sum^{n}_{j=1} {\sigma_j^2 x_j^2}}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \eta_{0}=\frac{k-\sum^{n}_{j=1} {\mu_j x_j}}{\sqrt{\sum^{n}_{j=1} {\sigma_j^2 x_j^2}}}
В силу прийнятих припущень випадкова величина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \eta
нормально розподілена: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \eta\in N(0,1)
. Тому
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(cx\leq{k})=P(\eta\leq{\eta_0})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\eta_{0}}{e^{-t^2/2}}
Відповідно, максимізація цільової функції (1) може бути замінена максимізацією
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \eta_{0}=\frac{k-\sum^{n}_{j=1} {\mu_j x_j}}{\sqrt{\sum^{n}_{j=1} {\sigma_j^2 x_j^2}}}
При Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\mu_j=0
задача зводиться до задачі квадратичного програмування:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{n}_{j=1} {\sigma_j^2 x_j^2}\to min
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Ax\geq{b}
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\geq{0}
Причому розв'язок не залежить від величини заданого порогу k [1, c. 77].
В загальному випадку задача являє собою задачу дробово-лінійного програмування. Методи аналізу таких задач можуть бути основані, наприклад, на результатах робіт [2,3].
Список використаних джерел
1. Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. / Юдин Д. Б. М: «Сов. радио», 1974. – 400 с.
2. Гольштейн Е. Г. Двойственные задачи выпуклого и дробновыпуклого програмирования в функциональных пространствах. В кн.: " Исследования по математическому програмированию", М.,"Наука", 1968.
3. Динкельбах (Dinkelbach W.). On nonlinear fractional programming. "Manag. Sci.", 1967, v. 13, №7.
Виконала: Кухаренко Анастасія Редагувала: Крячко Анастасія