Відмінності між версіями «Задача з імовірнісніми обмеженнями. Загальний випадок.»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
 
(не показані 10 проміжних версій 3 учасників)
Рядок 1: Рядок 1:
−
Наведемо 3 форми запису ймовірнісних умов для загального випадку:
+
 
 +
 
 +
Маємо 3 форми запису ймовірнісних умов для загального випадку:
 
*а) <math>P\{f_{i}(x)\leq{0}\}\geq{\alpha_{i}}</math>
 
*а) <math>P\{f_{i}(x)\leq{0}\}\geq{\alpha_{i}}</math>
 
*б) <math>P\{f(x)\leq{0}\}\geq{\alpha}</math>
 
*б) <math>P\{f(x)\leq{0}\}\geq{\alpha}</math>
 
*в) <math>P\{f_{i_{k}}(x)\leq{0},i_{k}\subset{I_{k}}\}\geq{\alpha_{i_{k}}}</math>
 
*в) <math>P\{f_{i_{k}}(x)\leq{0},i_{k}\subset{I_{k}}\}\geq{\alpha_{i_{k}}}</math>
−
де <math>f(x)=\{f_1(x),\ldots,f_m(x)\}</math>
+
де <math>f(x)=\{f_1(x),\ldots,f_m(x)\}</math> - вектор-функція, компоненти якої залежать від випадкових параметрів ω.
 +
 
 +
Нехай <math>~F_{ix}(t)</math> - безумовна функція розподілу випадкової величини <math>~f_{i}(x)</math> для заданого x, а <math>{F_{x}}(f_1,\ldots,f_m)</math> - сумісна функція розподілу системи випадкових величин <math>~f_{i}(x)</math>
  
 
<math>F_{ix}(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\ldots\int\limits_{-\infty}^{t}}{\ldots\int\limits_{-\infty}^{\infty}}\,d{F_{x}}(f_1,\ldots,f_m)</math>
 
<math>F_{ix}(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\ldots\int\limits_{-\infty}^{t}}{\ldots\int\limits_{-\infty}^{\infty}}\,d{F_{x}}(f_1,\ldots,f_m)</math>
 +
 +
Припущення:
 +
*а) залежності тільки між випадковими параметрами, що знаходяться в одному рядку;
 +
*б) всі випадкові параметри можуть бути залежними;
 +
*в) випадкові параметри, що відповідають функціям <math>f_{i_{k}}</math> для різних k незалежні між собою.
 +
 +
Позначимо через <math>g(x)=\{g_{1}(x),\ldots,g_{m}(x)\}</math>– детермінований вектор. область зміни компонент якого для кожного x обмежується діапазоном зміни відповідної випадкової величини <math>~f_{i}(x)</math>.
 +
 +
<math>g_{i}(x)\in\{\inf{f_{i}(x)},\sup{f_{i}(x)}\}</math>
 +
 +
<math>0\leq{F_{ix}(g_{i}(x))=P\{f_{i}(x)\leq{g_{i}(x)}}\}\leq{1}</math>
 +
 +
<math>F_{x}(g(x))=P\{f_{1}(x)\leq{g_{1}(x)},\ldots,f_{m}(x)\leq{g_{m}(x)}\}=P\{f(x)\leq{g(x)}\}</math>
 +
 +
Введені поняття дозволяють сформулювати детерміновані задачі, розв’язки яких співпадають з розв’язками відповідних стохастичних задач з ймовірнісними обмеженнями. Такі задачі називають детермінованими еквівалентами стохастичної задачі.
 +
 +
Задача (б)
 +
 +
<math>f_{0}(x)\to\max</math>                                                                                                        (1)
 +
 +
<math>P\{f(x)\leq{0}\}\geq{\alpha}</math>                                                                                            (2)
 +
 +
Детермінований еквівалент цієї задачі:
 +
 +
<math>f_{0}(x)\to{\max}</math>                                                                                                      (3)
 +
 +
<math>~F_{x}(g(x))={\alpha}</math>                                                                                                  (4)
 +
 +
<math>g(x)\leq{0}</math>                                                                                                            (5)
 +
 +
Теорема:
 +
 +
Якщо сумісна функція розподілу <math>~F(x)</math> компонент випадкового вектора <math>f(x)=\{f_1(x),\ldots,f_m(x)\}</math> неперервна при будь-якому x, то задача (3)-(5) є детермінованим еквівалентом стохастичної задачі (1)-(2).
 +
 +
Доведення:
 +
 +
Оскільки цільові функції обох задач однакові, то ми доведемо теорему, якщо впевнимося, що обидві задачі мають одну й ту саму область визначення.
 +
 +
Нехай <math>g(\tilde{x})</math> задовольняє умовам задачі (3)-(5).
 +
 +
З <math>~F_{\tilde{x}}(g(\tilde{x}))={\alpha}</math> випливає, що <math>~P\{f(\tilde{x})\leq{g(\tilde{x})}\}={\alpha}</math>
 +
 +
А з <math>g(\tilde{x})\leq{0}</math> випливає, що <math>P\{f(\tilde{x})\leq{0}\}\geq{\alpha}</math>
 +
 +
Тобто,<math>\tilde{x}</math> задовольняє умовам стохастичної задачі.
 +
 +
Нехай тепер <math>\hat{x}</math> – план задачі (1)-(2) з ймовірнісним обмеженням <math>P\{f(\hat{x})\leq{0}\}\geq{\alpha}</math>
 +
 +
Розділимо для кожного x номера компонент вектора f(x) на 3 множини: <math>I_{x}^{(1)},I_{x}^{(2)},I_{x}^{(3)}</math>
 +
*<math>i\in I_{x}^{(1)}</math>,якщо <math>~f_{i}(x)</math> – детермінована величина;
 +
*<math>i\in I_{x}^{(2)}</math>,якщо <math>~f_{i}(x)</math> - випадкова величина з від’ємною верхньою гранню <math>f_{i}(x)\leq{\bar{f_{i}}(x)}<0 </math>;
 +
*<math>i\in I_{x}^{(3)}</math>,якщо <math>~f_{i}(x)</math> – випадкова величина, для якої <math>P\{f_{i}(x)\geq{0}\}>0</math>.
 +
 +
План <math>\hat{x}</math> задачі (1)-(2) визначає детермінований вектор:
 +
 +
<math>g(\hat{x})=\begin{cases}
 +
f_{i}(\hat{x}),i\in I_{\hat{x}}^{(1)}\\
 +
\bar{f_{i}}(\hat{x}),i\in I_{\hat{x}}^{(2)}\\
 +
0,i\in I_{\hat{x}}^{(3)}
 +
\end{cases}</math>
 +
 +
<math>P\{f(\hat{x})\leq{0}\}=P\{f(\hat{x})\leq{g(\hat{x})}\}\geq{\alpha}</math>
 +
 +
За умовою розподіл <math>~F_{\hat{x}}(g(\hat{x}))</math> неперервний. Це означає, що існує таке <math>\hat{g}(\hat{x})</math>,що:
 +
 +
<math>\hat{g}(\hat{x})\leq{g(\hat{x})}\leq{0}</math>
 +
 +
<math>P\{f(\hat{x})\leq{\hat{g}(\hat{x})}\}=\alpha</math>
 +
 +
Таким чином вектори <math>\hat{x},\hat{g}(\hat{x})</math> задовольняють умовам задачі (3)-(5)
 +
 +
<math>\hat{g}(\hat{x})\leq{0}</math>
 +
 +
<math>~F_{\hat{x}}(g(\hat{x}))=\alpha</math>
 +
 +
Теорема доведена.
 +
 +
Аналогічним чином формулюється і обґрунтовується детермінована задача для стохастичних задач, ймовірнісні обмеження в яких записуються у вигляді (а) та (в).
 +
 +
Наприклад, детермінований варіант задачі
 +
 +
<math>f_{0}(x)\to\max</math>                          (6)
 +
         
 +
<math>P\{f_{i}(x)\leq{0}\}\geq{\alpha_{i}}</math>    (7)
 +
 +
формулюється наступним чином.
 +
 +
Потрібно знайти детерміновані вектори x і <math>g(x)=\{g_1(x),\ldots,g_m(x)\}</math> для яких:
 +
 +
<math>f_{0}(x)\to\max</math>
 +
 +
<math>~F_{ix}(g_{i}(x))=\alpha_{i}</math>
 +
 +
<math>g_{i}(x)\leq{0}</math>
 +
 +
Для неперервної функції розподілу <math>~F_{ix}</math> детермінований еквівалент задачі (6)-(7) матиме вигляд:
 +
 +
<math>f_{0}(x)\to\max</math>
 +
 +
<math>~F_{ix}^{-1}(\alpha_{i})\leq{0}</math>          (8)
 +
 +
Природно, що якщо стохастична задача окрім імовірнісних обмежень містить детерміновані умови, то вони переносяться і в еквівалентну задачу.
 +
 +
Виконала: [[Користувач:Лисенко Наталія|Лисенко Наталія]]

Поточна версія на 05:34, 2 червня 2017


Маємо 3 форми запису ймовірнісних умов для загального випадку:

  • а) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f_{i}(x)\leq{0}\}\geq{\alpha_{i}}
  • б) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(x)\leq{0}\}\geq{\alpha}
  • в) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f_{i_{k}}(x)\leq{0},i_{k}\subset{I_{k}}\}\geq{\alpha_{i_{k}}}

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\{f_1(x),\ldots,f_m(x)\} 

- вектор-функція, компоненти якої залежать від випадкових параметрів ω.

Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{ix}(t) 

- безумовна функція розподілу випадкової величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x)
для заданого x, а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {F_{x}}(f_1,\ldots,f_m)
- сумісна функція розподілу системи випадкових величин Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x)


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{ix}(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\ldots\int\limits_{-\infty}^{t}}{\ldots\int\limits_{-\infty}^{\infty}}\,d{F_{x}}(f_1,\ldots,f_m)


Припущення:

  • а) залежності тільки між випадковими параметрами, що знаходяться в одному рядку;
  • б) всі випадкові параметри можуть бути залежними;
  • в) випадкові параметри, що відповідають функціям Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{i_{k}} 
для різних k незалежні між собою.

Позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)=\{g_{1}(x),\ldots,g_{m}(x)\} – детермінований вектор. область зміни компонент якого для кожного x обмежується діапазоном зміни відповідної випадкової величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x) .

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g_{i}(x)\in\{\inf{f_{i}(x)},\sup{f_{i}(x)}\}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leq{F_{ix}(g_{i}(x))=P\{f_{i}(x)\leq{g_{i}(x)}}\}\leq{1}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{x}(g(x))=P\{f_{1}(x)\leq{g_{1}(x)},\ldots,f_{m}(x)\leq{g_{m}(x)}\}=P\{f(x)\leq{g(x)}\}


Введені поняття дозволяють сформулювати детерміновані задачі, розв’язки яких співпадають з розв’язками відповідних стохастичних задач з ймовірнісними обмеженнями. Такі задачі називають детермінованими еквівалентами стохастичної задачі.

Задача (б)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{0}(x)\to\max 

                                                                                                        (1)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(x)\leq{0}\}\geq{\alpha} 

                                                                                           (2)

Детермінований еквівалент цієї задачі:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{0}(x)\to{\max} 

                                                                                                      (3)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{x}(g(x))={\alpha} 

                                                                                                  (4)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)\leq{0} 

                                                                                                            (5)

Теорема:

Якщо сумісна функція розподілу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F(x) 

компонент випадкового вектора Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\{f_1(x),\ldots,f_m(x)\}
неперервна при будь-якому x, то задача (3)-(5) є детермінованим еквівалентом стохастичної задачі (1)-(2).

Доведення:

Оскільки цільові функції обох задач однакові, то ми доведемо теорему, якщо впевнимося, що обидві задачі мають одну й ту саму область визначення.

Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(\tilde{x}) 

задовольняє умовам задачі (3)-(5).

З Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{\tilde{x}}(g(\tilde{x}))={\alpha} 

випливає, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~P\{f(\tilde{x})\leq{g(\tilde{x})}\}={\alpha}


А з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(\tilde{x})\leq{0} 

випливає, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(\tilde{x})\leq{0}\}\geq{\alpha}


Тобто,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{x} 

задовольняє умовам стохастичної задачі.

Нехай тепер Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{x} 

– план задачі (1)-(2) з ймовірнісним обмеженням Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(\hat{x})\leq{0}\}\geq{\alpha}


Розділимо для кожного x номера компонент вектора f(x) на 3 множини: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): I_{x}^{(1)},I_{x}^{(2)},I_{x}^{(3)}

  • Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i\in I_{x}^{(1)}

,якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x) 

– детермінована величина;
  • Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i\in I_{x}^{(2)}

,якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x) 

- випадкова величина з від’ємною верхньою гранню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{i}(x)\leq{\bar{f_{i}}(x)}<0
  • Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i\in I_{x}^{(3)}

,якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x) 

– випадкова величина, для якої Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f_{i}(x)\geq{0}\}>0

.

План Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{x} 

задачі (1)-(2) визначає детермінований вектор:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(\hat{x})=\begin{cases} f_{i}(\hat{x}),i\in I_{\hat{x}}^{(1)}\\ \bar{f_{i}}(\hat{x}),i\in I_{\hat{x}}^{(2)}\\ 0,i\in I_{\hat{x}}^{(3)} \end{cases}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(\hat{x})\leq{0}\}=P\{f(\hat{x})\leq{g(\hat{x})}\}\geq{\alpha}


За умовою розподіл Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{\hat{x}}(g(\hat{x})) 

неперервний. Це означає, що існує таке Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{g}(\hat{x})

,що:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{g}(\hat{x})\leq{g(\hat{x})}\leq{0}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(\hat{x})\leq{\hat{g}(\hat{x})}\}=\alpha


Таким чином вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{x},\hat{g}(\hat{x}) 

задовольняють умовам задачі (3)-(5)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{g}(\hat{x})\leq{0}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{\hat{x}}(g(\hat{x}))=\alpha


Теорема доведена.

Аналогічним чином формулюється і обґрунтовується детермінована задача для стохастичних задач, ймовірнісні обмеження в яких записуються у вигляді (а) та (в).

Наприклад, детермінований варіант задачі

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{0}(x)\to\max 

                         (6)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f_{i}(x)\leq{0}\}\geq{\alpha_{i}} 

    (7)

формулюється наступним чином.

Потрібно знайти детерміновані вектори x і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)=\{g_1(x),\ldots,g_m(x)\} 

для яких:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{0}(x)\to\max


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{ix}(g_{i}(x))=\alpha_{i}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g_{i}(x)\leq{0}


Для неперервної функції розподілу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{ix} 

детермінований еквівалент задачі (6)-(7) матиме вигляд:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{0}(x)\to\max


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{ix}^{-1}(\alpha_{i})\leq{0} 

          (8)

Природно, що якщо стохастична задача окрім імовірнісних обмежень містить детерміновані умови, то вони переносяться і в еквівалентну задачу.

Виконала: Лисенко Наталія

Отримано з https://wiki.cusu.edu.ua/index.php?title=Задача_з_імовірнісніми_обмеженнями._Загальний_випадок.&oldid=284293