Відмінності між версіями «Модифікації симплексного методу»
Матеріал з Вікі ЦДУ
Tenatin (обговорення • внесок) |
Tenatin (обговорення • внесок) |
||
| (не показано 9 проміжних версій цього учасника) | |||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
| − | Модифікації симплексного методу* | + | Модифікації симплексного методу*<br> |
| − | 1. Двохетапний симплекс-метод. Проблеми зустрічаються тоді, коли штучні змінні є частиною початкового базисного розв’язку. Використання як | + | '''1. Двохетапний симплекс-метод.''' Проблеми зустрічаються тоді, коли штучні змінні є частиною початкового базисного розв’язку. Використання як М у цільовій функції дуже великих чисел може призвести до помилки округлення |
| − | Розглянемо задачу | + | Розглянемо задачу |
| + | <center><math>\mathbf{maxF=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n}</math></center> | ||
| + | <br> | ||
| + | <center><math>\left\{ {\begin{array}{l} | ||
| + | b_{1}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n} \\ | ||
| + | b_{2}=a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n} \\ | ||
| + | ................................ \\ | ||
| + | b_{m}=a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n} \\ | ||
| + | x_{i,j}\ge 0 (j=1,2,...,n+m) \\ | ||
| + | \end{array}} \right.</math></center>. Процес розв’язування у два етапи. | ||
На першому етапі розв’язується задача виду: | На першому етапі розв’язується задача виду: | ||
<center><math>\left\{ {\begin{array}{l} | <center><math>\left\{ {\begin{array}{l} | ||
| Рядок 10: | Рядок 19: | ||
x_{i,j}\ge 0 (j=1,2,...,n+m) \\ | x_{i,j}\ge 0 (j=1,2,...,n+m) \\ | ||
\end{array}} \right.</math></center> | \end{array}} \right.</math></center> | ||
| − | де <math> | + | де <math> x_{j}(J=n+1,...,n+m)</math> – штучні змінні. Перший етап характеризується використанням лише великих чисел як коефіцієнтів цільової функції. Очевидно значення цільової функції для оптимального плану буде <math>F_{0}(X_{0})=0 </math>. Отже, при <math>F_{0}(X_{0})=0 </math> початкова задача має допустимий базисний розв’язок, причому такий, що не містить штучних змінних. |
| − | На другому етапі розв’язування задачі як початковий опорний план береться <math> | + | На другому етапі розв’язування задачі як початковий опорний план береться <math> X_{0} </math> , і процес продовжується за звичайним алгорит¬мом симплексного методу. На другому етапі задача не містить штучних змінних, отже, значення, що відповідають <math> \pm M </math> , не розглядаються. |
| − | Крім того, якщо на першому етапі розв’язання задачі <math> | + | Крім того, якщо на першому етапі розв’язання задачі <math> F_{0}(X_{0}) < 0 </math> , то це означає, що деякі зі штучних змінних додатні, тобто допустимих планів для початкової задачі не існує, її систе-ма обмежень несумісна, задача розв’язків не має. Отже, немає потреби переходити до другого етапу . |
Двохетапний метод застосовують до задач, що вимагають операцій над дуже великими числами, які входять у цільову функцію. | Двохетапний метод застосовують до задач, що вимагають операцій над дуже великими числами, які входять у цільову функцію. | ||
| Рядок 18: | Рядок 27: | ||
| − | 2. Модифікований симплексний метод. Застосування методу виключення змінних Жордана—Гаусса для отримання послідовного ряду симплексних таблиць призводить до накопичення і поширення помилок округлення в такій мірі, що вони спотворюють початкові дані задачі. | + | '''2. Модифікований симплексний метод.''' Застосування методу виключення змінних Жордана—Гаусса для отримання послідовного ряду симплексних таблиць призводить до накопичення і поширення помилок округлення в такій мірі, що вони спотворюють початкові дані задачі. |
| − | З метою зменшення впливу помилок округлення був розроб-лений модифікований симплексний метод. Основні етапи його алгоритму по суті такі ж, як і для симплексного методу. Головна відмінність полягає в тому, що для отримання послідовності симплексних таблиць у модифікованому симплексному методі не застосовується метод виключення змінних Жордана—Гаусса. Допустимо, що розглядається задача лінійного програмування, де базис утворюють останні <math> n+m </math> векторів, які позначимо через <math> | + | З метою зменшення впливу помилок округлення був розроб-лений модифікований симплексний метод. Основні етапи його алгоритму по суті такі ж, як і для симплексного методу. Головна відмінність полягає в тому, що для отримання послідовності симплексних таблиць у модифікованому симплексному методі не застосовується метод виключення змінних Жордана—Гаусса. Допустимо, що розглядається задача лінійного програмування, де базис утворюють останні <math> n+m </math> векторів, які позначимо через <math> X_{2} </math> а відповідні їм коефіцієнти цільової функції — через <math> C_{2} </math> Аналогічно перші n змінних позначимо через <math> X_{1} </math> , а відповідні коефіцієнти цільової функції — через <math> C_{1} </math>. . Коефіцієнти векторів <math> X{1} </math>. Х1 у системі обмежень утворюють матрицю А. Тоді схематично першу та останню симплексні таблиці можна подати у вигляді (табл.1): |
| − | + | Таблиця1 | |
[[Файл:Таблица.PNG]] | [[Файл:Таблица.PNG]] | ||
| − | де <math> B^ | + | де <math> B ^ {-1} </math> — матриця, обернена до одиничної, з першої симплексної таблиці. Як видно з наведеної табл. 2.11, вся симплексна таблиця сформована шляхом використання початкових даних (матриця А) та обернення поточного базису <math> B ^ {-1} </math> . Отже, в обчислювальних процедурах модифікованого симплексного методу головна увага зосереджена на мінімізації помилок округлення при обчисленні матриці <math> B ^ {-1} </math> Модифікованим симплексним методом можна скористатись також для зменшення кількості операцій множення. |
| + | |||
| + | '''Приклад''' | ||
| + | Посилання http://www.semestr.ru/ks839.html <br> </br> | ||
| + | [[Файл:Пример1.png]] | ||
| + | [[Файл:Пример2.png]] | ||
| + | [[Файл:Пример3.png]] | ||
Поточна версія на 23:03, 4 травня 2012
Модифікації симплексного методу*
1. Двохетапний симплекс-метод. Проблеми зустрічаються тоді, коли штучні змінні є частиною початкового базисного розв’язку. Використання як М у цільовій функції дуже великих чисел може призвести до помилки округлення
Розглянемо задачу
На першому етапі розв’язується задача виду:
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{j}(J=n+1,...,n+m)
– штучні змінні. Перший етап характеризується використанням лише великих чисел як коефіцієнтів цільової функції. Очевидно значення цільової функції для оптимального плану буде Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{0}(X_{0})=0
. Отже, при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{0}(X_{0})=0
початкова задача має допустимий базисний розв’язок, причому такий, що не містить штучних змінних.
На другому етапі розв’язування задачі як початковий опорний план береться Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X_{0}
, і процес продовжується за звичайним алгорит¬мом симплексного методу. На другому етапі задача не містить штучних змінних, отже, значення, що відповідають Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \pm M , не розглядаються.
Крім того, якщо на першому етапі розв’язання задачі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{0}(X_{0}) < 0
, то це означає, що деякі зі штучних змінних додатні, тобто допустимих планів для початкової задачі не існує, її систе-ма обмежень несумісна, задача розв’язків не має. Отже, немає потреби переходити до другого етапу .
Двохетапний метод застосовують до задач, що вимагають операцій над дуже великими числами, які входять у цільову функцію.
2. Модифікований симплексний метод. Застосування методу виключення змінних Жордана—Гаусса для отримання послідовного ряду симплексних таблиць призводить до накопичення і поширення помилок округлення в такій мірі, що вони спотворюють початкові дані задачі.
З метою зменшення впливу помилок округлення був розроб-лений модифікований симплексний метод. Основні етапи його алгоритму по суті такі ж, як і для симплексного методу. Головна відмінність полягає в тому, що для отримання послідовності симплексних таблиць у модифікованому симплексному методі не застосовується метод виключення змінних Жордана—Гаусса. Допустимо, що розглядається задача лінійного програмування, де базис утворюють останні Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n+m
векторів, які позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X_{2}
а відповідні їм коефіцієнти цільової функції — через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C_{2}
Аналогічно перші n змінних позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X_{1}
, а відповідні коефіцієнти цільової функції — через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C_{1}
. . Коефіцієнти векторів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X{1} . Х1 у системі обмежень утворюють матрицю А. Тоді схематично першу та останню симплексні таблиці можна подати у вигляді (табл.1):
Таблиця1
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B ^ {-1}
— матриця, обернена до одиничної, з першої симплексної таблиці. Як видно з наведеної табл. 2.11, вся симплексна таблиця сформована шляхом використання початкових даних (матриця А) та обернення поточного базису Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B ^ {-1}
. Отже, в обчислювальних процедурах модифікованого симплексного методу головна увага зосереджена на мінімізації помилок округлення при обчисленні матриці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B ^ {-1}
Модифікованим симплексним методом можна скористатись також для зменшення кількості операцій множення.
Приклад
Посилання http://www.semestr.ru/ks839.html
</br>
