Відмінності між версіями «Система числення»
(→Див. також) |
Тетяна (обговорення • внесок) (→Непозиційна система) |
||
| (не показані 20 проміжних версій 2 учасників) | |||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
| + | [[category: Історія інформатики]] | ||
| + | [[Файл:Cxemasd.jpg|right]] | ||
| + | |||
'''Систе́ма чи́слення''' (англ. ''number (numeration) system, notation'') - сукупність способів і засобів запису чисел для проведення підрахунків. | '''Систе́ма чи́слення''' (англ. ''number (numeration) system, notation'') - сукупність способів і засобів запису чисел для проведення підрахунків. | ||
| Рядок 5: | Рядок 8: | ||
* '''''змішані''''' | * '''''змішані''''' | ||
* '''''непозиційні''''' | * '''''непозиційні''''' | ||
| + | |||
== Позиційна система == | == Позиційна система == | ||
| Рядок 20: | Рядок 24: | ||
Використовуючи позиційний принцип, можна зобразити будь-яке [[Дійсні числа|дійсне число]] за допомогою усього лиш десяти цифр у їх різних комбінаціях. | Використовуючи позиційний принцип, можна зобразити будь-яке [[Дійсні числа|дійсне число]] за допомогою усього лиш десяти цифр у їх різних комбінаціях. | ||
| + | Позиційна система числення має обмежену кількість символів і значення кожного символу чітко залежить від її позиції у числі. Кількість таких символів q, називають основою позиційної системи числення. Головна перевага позиційної системи числення - це зручність виконання арифметичних операцій. | ||
| + | У системах числення з основою меншою 10 використовують десяткові цифри, а для основи більшої 10 добавляють букви латинського алфавіту. | ||
| + | У позиційних системах числення значення кожного символу (цифри чи букви) визначається її зображенням і позицією у числі. | ||
| + | Окремі позиції в записі числа. називають розрядами, а номер позиції - номером розряду. Число розрядів у записі числа, називається його розрядністю і зберігається з довжиною числа. | ||
| + | |||
| + | Позиційні системи числення діляться на однорідні та неоднорідні. | ||
| + | Неоднорідні системи числення - це такі позиційні системи числення, де для кожного розряду числа основа системи числення не залежить одна від одної і може мати будь-яке значення. | ||
| + | Прикладом є двійково-п’ятиркова система числення (система зі змішаними основами). Вони використовуються у спеціалізованих ЕОМ ранніх поколінь. | ||
| + | Однорідна позиційна система числення - це така система числення, для якої множина допустимих символів для всіх розрядів однакова. | ||
== Змішана система == | == Змішана система == | ||
| Рядок 40: | Рядок 53: | ||
Представлення використовує [[Біноміальний коефіцієнт|біноміальні коефіцієнти]]: | Представлення використовує [[Біноміальний коефіцієнт|біноміальні коефіцієнти]]: | ||
:<math>x = \sum_{k=1}^n {c_k\choose k}</math>, де <math>0\leq c_1 < c_2 < \dots < c_n</math>. | :<math>x = \sum_{k=1}^n {c_k\choose k}</math>, де <math>0\leq c_1 < c_2 < \dots < c_n</math>. | ||
| + | |||
| + | ===Система залишкових класів=== | ||
| + | Подання числа в системі залишкових класів засноване на понятті вирахування і китайської теореми про залишки. СОК визначається набором взаємно простих модулів(M_1, m_2, \ dots, m_n(M_1, m_2, \ dots, m_n) з твором M = m_1 \ cdot m_2 \ cdot \ dots \ cdot m_n так, що кожному цілого числа x з відрізка [0, M - 1] ставиться у відповідність набір відрахувань (X_1, x_2, \ dots, x_n) , Де | ||
| + | |||
| + | x \ equiv x_1 \ pmod {m_1}; | ||
| + | x \ equiv x_2 \ pmod {m_2}; | ||
| + | ... | ||
| + | x \ equiv x_n \ pmod {m_n}. | ||
| + | |||
| + | При цьому китайська теорема про залишки гарантує однозначність подання для чисел з відрізка [0, M - 1] . | ||
| + | |||
| + | В СОК арифметичні операції (додавання, віднімання, множення, ділення) виконуються покомпонентно, якщо про результат відомо, що він є цілочисельним і також лежить в [0, M - 1] . | ||
| + | |||
| + | Недоліками СОК є можливість подання лише обмеженої кількості чисел, а також відсутність ефективних алгоритмів для порівняння чисел, представлених в СОК. Порівняння зазвичай здійснюється через переклад аргументів з СОК в змішану систему числення з підстав (M_1, m_1 \ cdot m_2, \ dots, m_1 \ cdot m_2 \ cdot \ dots \ cdot m_ {n-1}) . | ||
| + | |||
| + | ===Система числення Штерна-Броко=== | ||
| + | Система числення Штерна-Броко - спосіб запису позитивних раціональних чисел, заснований на дереві Штерна-Броко. | ||
| + | [http://znaimo.com.ua/Дерево_Штерна_-_Броко] | ||
=== Система числення майя === | === Система числення майя === | ||
[[Майя (цивілізація)|Майя]] використовували двадцяткову систему числення за одним вийнятком: у другому розряді було не 20, а 18 ступенів, тобто після числа (17)(19) відразу йшло число (1)(0)(0). Це було зроблено для полегшення розрахунків календарного циклу, оскільки (1)(0)(0) дорівнювало 360, що приблизно дорівнює кількості днів у сонячному році. | [[Майя (цивілізація)|Майя]] використовували двадцяткову систему числення за одним вийнятком: у другому розряді було не 20, а 18 ступенів, тобто після числа (17)(19) відразу йшло число (1)(0)(0). Це було зроблено для полегшення розрахунків календарного циклу, оскільки (1)(0)(0) дорівнювало 360, що приблизно дорівнює кількості днів у сонячному році. | ||
| + | [http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D0%B9%D1%8F] | ||
| + | |||
| + | ===Єврейська система числення === | ||
| + | Єврейська система числення як цифр використовує 22 буквами єврейського алфавіту. Кожна буква має своє числове значення від 1 до 400 (див. т. ж. Гематрія). Нуль відсутня. Цифри, записані таким чином, найбільш часто можна зустріти в нумерації років за іудейським календарем. | ||
== Непозиційна система == | == Непозиційна система == | ||
| + | Непозиційні системи числення — системи числення у яких величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел. | ||
У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були | У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були | ||
| Рядок 95: | Рядок 131: | ||
* [http://uk.wikipedia.org/wiki/Шістнадцяткова_система_числення Шістнадцяткова система числення] | * [http://uk.wikipedia.org/wiki/Шістнадцяткова_система_числення Шістнадцяткова система числення] | ||
---- | ---- | ||
| − | [[ Розвиток систем числення ]] | + | << [[ Розвиток систем числення ]] |
Поточна версія на 12:41, 13 жовтня 2012
Систе́ма чи́слення (англ. number (numeration) system, notation) - сукупність способів і засобів запису чисел для проведення підрахунків.
Розрізняють такі типи систем числення:
- позиційні
- змішані
- непозиційні
Позиційна система
У позиційних системах числення одна і та ж цифра (числовий знак) у записі числа набуває різних значень залежно від своєї позиції. Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому натуральному числу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b>1 , яке називається основою системи числення.
Наприклад, якщо b - натуральне число (Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b > 1 ), то для представлення числа x у системі числення з основою b його подають у вигляді лінійної комбінації степенів числа b:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=0}^n a_k b^k
, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_k
— цілі, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0 \leq a_k < b
Іншими словами, основа - це кількість символів, що використовуються при записуванні чисел.
- Приклад
Наприклад, число «двісті чотири» представляється у десятковій системі числення у вигляді:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 204 = 2 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 4 \cdot 10^{0}
Використовуючи позиційний принцип, можна зобразити будь-яке дійсне число за допомогою усього лиш десяти цифр у їх різних комбінаціях.
Позиційна система числення має обмежену кількість символів і значення кожного символу чітко залежить від її позиції у числі. Кількість таких символів q, називають основою позиційної системи числення. Головна перевага позиційної системи числення - це зручність виконання арифметичних операцій.
У системах числення з основою меншою 10 використовують десяткові цифри, а для основи більшої 10 добавляють букви латинського алфавіту.
У позиційних системах числення значення кожного символу (цифри чи букви) визначається її зображенням і позицією у числі.
Окремі позиції в записі числа. називають розрядами, а номер позиції - номером розряду. Число розрядів у записі числа, називається його розрядністю і зберігається з довжиною числа.
Позиційні системи числення діляться на однорідні та неоднорідні. Неоднорідні системи числення - це такі позиційні системи числення, де для кожного розряду числа основа системи числення не залежить одна від одної і може мати будь-яке значення. Прикладом є двійково-п’ятиркова система числення (система зі змішаними основами). Вони використовуються у спеціалізованих ЕОМ ранніх поколінь. Однорідна позиційна система числення - це така система числення, для якої множина допустимих символів для всіх розрядів однакова.
Змішана система
Змішана система числення є узагальненням системи числення з основою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b
і її часто відносять до позиційних систем числення. Основою змішаної системи є послідовність чисел, що зростає, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{b_k\}_{k=0}^{\infty}
і кожне число Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x
представляється як лінійна комбінація:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=0}^n a_{k}b_k
, де на коефіцієнти Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_{k}
(цифри) накладаються деякі обмеження.
Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_k=b^k
для деякого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b
, то змішана система збігається з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b -основною системою числення.
Найвідомішим прикладом змішаної системи числення є представлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин і секунд. При цьому величина d днів h годин m хвилин s секунд відповідає значенню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): d\cdot 24\cdot 60\cdot 60 + h\cdot 60\cdot 60 + m\cdot 60 + s
секунд.
Система числення Фібоначчі
Представлення засновується на числах Фібоначчі:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=0}^n f_k F_k
, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_k
— числа Фібоначчі, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_k\in\{0,1\}
, при цьому у записі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_nf_{n-1}\dots f_0
не зустрічаються дві одиниці підряд.
Факторіальна система числення
Представлення використовує факторіал натуальних чисел:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=1}^n d_k k!
, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leq d_k \leq k .
Біноміальна система числення
Представлення використовує біноміальні коефіцієнти:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=1}^n {c_k\choose k}
, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leq c_1 < c_2 < \dots < c_n .
Система залишкових класів
Подання числа в системі залишкових класів засноване на понятті вирахування і китайської теореми про залишки. СОК визначається набором взаємно простих модулів(M_1, m_2, \ dots, m_n(M_1, m_2, \ dots, m_n) з твором M = m_1 \ cdot m_2 \ cdot \ dots \ cdot m_n так, що кожному цілого числа x з відрізка [0, M - 1] ставиться у відповідність набір відрахувань (X_1, x_2, \ dots, x_n) , Де
x \ equiv x_1 \ pmod {m_1};
x \ equiv x_2 \ pmod {m_2};
...
x \ equiv x_n \ pmod {m_n}.
При цьому китайська теорема про залишки гарантує однозначність подання для чисел з відрізка [0, M - 1] .
В СОК арифметичні операції (додавання, віднімання, множення, ділення) виконуються покомпонентно, якщо про результат відомо, що він є цілочисельним і також лежить в [0, M - 1] .
Недоліками СОК є можливість подання лише обмеженої кількості чисел, а також відсутність ефективних алгоритмів для порівняння чисел, представлених в СОК. Порівняння зазвичай здійснюється через переклад аргументів з СОК в змішану систему числення з підстав (M_1, m_1 \ cdot m_2, \ dots, m_1 \ cdot m_2 \ cdot \ dots \ cdot m_ {n-1}) .
Система числення Штерна-Броко
Система числення Штерна-Броко - спосіб запису позитивних раціональних чисел, заснований на дереві Штерна-Броко. [1]
Система числення майя
Майя використовували двадцяткову систему числення за одним вийнятком: у другому розряді було не 20, а 18 ступенів, тобто після числа (17)(19) відразу йшло число (1)(0)(0). Це було зроблено для полегшення розрахунків календарного циклу, оскільки (1)(0)(0) дорівнювало 360, що приблизно дорівнює кількості днів у сонячному році. [2]
Єврейська система числення
Єврейська система числення як цифр використовує 22 буквами єврейського алфавіту. Кожна буква має своє числове значення від 1 до 400 (див. т. ж. Гематрія). Нуль відсутня. Цифри, записані таким чином, найбільш часто можна зустріти в нумерації років за іудейським календарем.
Непозиційна система
Непозиційні системи числення — системи числення у яких величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел.
У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел.
Типовим прикладом непозиційної системи числення є римська система числення, в якій у якості цифр використовуються латинські букви:
| Римська цифра | Десяткове значення |
|---|---|
| I | 1 |
| V | 5 |
| X | 10 |
| L | 50 |
| C | 100 |
| D | 500 |
| M | 1000 |
Наприклад, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Тут символи V і I означають 5 і 1, відповідно, незалежно від місця їх у числі.
Застосування
У нумізматиці особливо велику вагу мають десяткова система, дванадцяткова (дуодецимальна), четвертна та шісткова системи. У інформаційних технологія застосовуються двійкова, десяткова, вісімкова, та шістнадцяткова системи.
Див. також
- Позиційні системи числення
- Непозиційні системи числення
- Єгипетська система числення
- Арабська система числення
- Римська система числення
- Двійкова система числення
- Вісімкова система числення
- Десяткова система числення
- Шістнадцяткова система числення
