Відмінності між версіями «Закон Гука та межі нелінійності»
Матеріал з Вікі ЦДУ
ViTaLiK (обговорення • внесок) (→Закон Гука для випадку одновісного напруженого стану) |
|||
| (не показані 5 проміжних версій 2 учасників) | |||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
| − | + | '''Закон Гука''' встановлює лінійну залежність між деформацією й механічними напруженнями. Закон Гука справедливий для малих пружних деформацій. Він був сформульований Робертом Гуком у 1660. | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
== Закон Гука для випадку одновісного напруженого стану == | == Закон Гука для випадку одновісного напруженого стану == | ||
| − | У своїй найпростішій формі закон Гука записується для деформації довгого тонкого | + | У своїй найпростішій формі закон Гука записується для деформації довгого тонкого триженя або пружини |
: <math> F = - k x</math>, | : <math> F = - k x</math>, | ||
де F — сила, k — коефіцієнт жорсткості, х — видовження. | де F — сила, k — коефіцієнт жорсткості, х — видовження. | ||
| − | Ця формула не враховує зміни поперечних розмірів стрижня при | + | Ця формула не враховує зміни поперечних розмірів стрижня при розтягу. Крім того коефіцієнт жорсткості — це властивість |
| − | стрижня, а не властивість | + | стрижня, а не властивість матеріалу, з якого він виготовлений. |
Запис закону Гука через напруження і відносні деформації дає можливість виключити вплив конструктивних особливостей стрижень на вид залежності між силовим параметром і деформацією. Для випадку лінійного навантаження закон Гука має вигляд: | Запис закону Гука через напруження і відносні деформації дає можливість виключити вплив конструктивних особливостей стрижень на вид залежності між силовим параметром і деформацією. Для випадку лінійного навантаження закон Гука має вигляд: | ||
| Рядок 22: | Рядок 19: | ||
:<math> \epsilon = \frac{\Delta l}{l} </math> — величина відносної деформації (відносне видовження); | :<math> \epsilon = \frac{\Delta l}{l} </math> — величина відносної деформації (відносне видовження); | ||
:''E'' – модуль Юнга. | :''E'' – модуль Юнга. | ||
| + | |||
== Закон Гука для тривимірного напруженого стану == | == Закон Гука для тривимірного напруженого стану == | ||
| Рядок 53: | Рядок 51: | ||
де: | де: | ||
| − | : ''ε'' – | + | : ''ε'' – деформація розтягу-стиску в точці, |
| − | : ''σ'' – | + | : ''σ'' – напруження розтягу-стиску, |
| − | : ''γ'' – | + | : ''γ'' – деформація зсуву (кутова) в точці, |
| − | : ''τ'' – | + | : ''τ'' – напруження зсуву (дотичне напруження) в точці, |
| − | : ''G'' – | + | : ''G'' – модуль зсуву, |
| − | : ''E'' – | + | : ''E'' – модуль Юнга |
| − | : <math>\nu</math> - | + | : <math>\nu</math> - коефіцієнт Пуассона. |
| + | |||
| + | Закон можна сформулювати так: ''компоненти тензора деформації в даній точці тіла знаходяться в лінійній залежності від компонентів тензора напруження тієї ж точки''. | ||
| − | |||
| − | |||
== Строга форма запису закону Гука == | == Строга форма запису закону Гука == | ||
: <math> \sigma_{ik} = \sum_{lm} \lambda_{iklm} \varepsilon_{lm} </math>, | : <math> \sigma_{ik} = \sum_{lm} \lambda_{iklm} \varepsilon_{lm} </math>, | ||
| − | де <math> \sigma_{ik} </math> — | + | де <math> \sigma_{ik} </math> — тензор механічних напружень, <math> \varepsilon_{lm} </math> — тензор деформації, а |
| − | <math> \lambda_{iklm} </math> — тензор чертвертого рангу, який називається | + | <math> \lambda_{iklm} </math> — тензор чертвертого рангу, який називається тензор модулів пружності і |
| − | є характеристикою | + | є характеристикою речовина|речовини. |
| − | + | ||
| − | + | ||
Поточна версія на 11:01, 30 травня 2014
Закон Гука встановлює лінійну залежність між деформацією й механічними напруженнями. Закон Гука справедливий для малих пружних деформацій. Він був сформульований Робертом Гуком у 1660.
Закон Гука для випадку одновісного напруженого стану
У своїй найпростішій формі закон Гука записується для деформації довгого тонкого триженя або пружини
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F = - k x
,
де F — сила, k — коефіцієнт жорсткості, х — видовження.
Ця формула не враховує зміни поперечних розмірів стрижня при розтягу. Крім того коефіцієнт жорсткості — це властивість стрижня, а не властивість матеріалу, з якого він виготовлений.
Запис закону Гука через напруження і відносні деформації дає можливість виключити вплив конструктивних особливостей стрижень на вид залежності між силовим параметром і деформацією. Для випадку лінійного навантаження закон Гука має вигляд:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma = E \frac{\Delta l}{l} = E \epsilon
,
де: σ — механічне напруження, визначається, як сила, що припадає на одиницю площі поперечного перерізу тіла;
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon = \frac{\Delta l}{l}
— величина відносної деформації (відносне видовження);
- E – модуль Юнга.
Закон Гука для тривимірного напруженого стану
Закон Гука для тривимірного (складного) напруженого стану у випадку ізотропного матеріалу може бути записаний у вигляді системи рівнянь:
- для лінійних деформацій
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon_x = \frac {1} {E} [\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z)]
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon_y = \frac {1} {E} [\sigma_y - \nu(\sigma_z + \sigma_x)]
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon_z = \frac {1} {E} [\sigma_z - \nu(\sigma_x + \sigma_y)]
- для деформацій зсуву
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma_{xy} = \frac {\tau_{xy}} {G}
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma_{xz} = \frac {\tau_{xz}} {G}
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma_{yz} = \frac {\tau_{yz}} {G}
де:
- ε – деформація розтягу-стиску в точці,
- σ – напруження розтягу-стиску,
- γ – деформація зсуву (кутова) в точці,
- τ – напруження зсуву (дотичне напруження) в точці,
- G – модуль зсуву,
- E – модуль Юнга
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nu
- коефіцієнт Пуассона.
Закон можна сформулювати так: компоненти тензора деформації в даній точці тіла знаходяться в лінійній залежності від компонентів тензора напруження тієї ж точки.
Строга форма запису закону Гука
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma_{ik} = \sum_{lm} \lambda_{iklm} \varepsilon_{lm}
,
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma_{ik}
— тензор механічних напружень, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \varepsilon_{lm}
— тензор деформації, а
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda_{iklm}
— тензор чертвертого рангу, який називається тензор модулів пружності і
є характеристикою речовина|речовини.
