Відмінності між версіями «Стаття проекту "Урок майбутнього!" Гелевер Ірина»
2495630 (обговорення • внесок) |
2495630 (обговорення • внесок) |
||
| (не показані 44 проміжні версії цього учасника) | |||
| Рядок 47: | Рядок 47: | ||
Точки A і A' називають ''симетричними відносно точки O'', якщо точка O — середина відрізка AA'. | Точки A і A' називають ''симетричними відносно точки O'', якщо точка O — середина відрізка AA'. | ||
''Перетворенням симетрії відносно точки O'' (центральною симетрією) називають таке перетворення, при якому кожна точка даної фігури | ''Перетворенням симетрії відносно точки O'' (центральною симетрією) називають таке перетворення, при якому кожна точка даної фігури | ||
| − | переходить у точку, симетричну їй відносно точки O.<br> | + | переходить у точку, симетричну їй відносно точки O.<br>[[Файл:Площ.png|right|150px|рис. 1]]<br> |
Якщо симетрія відносно точки O переводить дану фігуру в ту саму фігуру, то таку фігуру називають ''центральносиметричною'', а точку O — її ''центром симетрії''. Прикладом такої фігури є прямокутний паралелепіпед. Його центр симетрії — точка перетину діагоналей паралелепіпеда.<br> | Якщо симетрія відносно точки O переводить дану фігуру в ту саму фігуру, то таку фігуру називають ''центральносиметричною'', а точку O — її ''центром симетрії''. Прикладом такої фігури є прямокутний паралелепіпед. Його центр симетрії — точка перетину діагоналей паралелепіпеда.<br> | ||
| − | #''Поняття симетрії відносно прямої у просторі.'' | + | #''Поняття симетрії відносно прямої у просторі.'' |
Точки A і A' називають ''симетричними відносно прямої l'', якщо ця пряма перпендикулярна до відрізка AA' і проходить через його середину.<br> | Точки A і A' називають ''симетричними відносно прямої l'', якщо ця пряма перпендикулярна до відрізка AA' і проходить через його середину.<br> | ||
| − | ''Перетворенням симетрії відносно прямої'' (осьовою симетрією) нназивають таке перетворення, при якому кожна точка фігури переходить у точку, симетричну їй відносно даної прямої. Наприклад, куб має вісь симетрії, причому не одну.<br> | + | ''Перетворенням симетрії відносно прямої'' (осьовою симетрією) нназивають таке перетворення, при якому кожна точка фігури переходить у точку, симетричну їй відносно даної прямої. Наприклад, куб має вісь симетрії, причому не одну.<br>[[Файл:Tabb.png|right|400px]] |
| − | + | # ''Поняття симетрії відносно площини у просторі.''<br> | |
Точки A і A' називають ''симетричними відносно площини α'', якщо ця площина перпендикулярна до відрізка AA' і проходить | Точки A і A' називають ''симетричними відносно площини α'', якщо ця площина перпендикулярна до відрізка AA' і проходить | ||
через його середину (рис. 1). Точки площини α вважаються симетричними самі до себе. При цьому площину α називають ''площиною симетрії.''<br> | через його середину (рис. 1). Точки площини α вважаються симетричними самі до себе. При цьому площину α називають ''площиною симетрії.''<br> | ||
| Рядок 64: | Рядок 64: | ||
===6. ОСМИСЛЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ=== | ===6. ОСМИСЛЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ=== | ||
Розв'язання задач: <br> | Розв'язання задач: <br> | ||
| − | *1. Точки A і B симетричні відносно точки C. Знайдіть координати точки C, якщо A(5;-3;4) і B(-3;1;-2). | + | *<b>ЗАДАЧА 1.</b> Точки A і B симетричні відносно точки C. Знайдіть координати точки C, якщо A(5;-3;4) і B(-3;1;-2). |
| − | + | ''Відповідь:'' C(1;-1;1). | |
| − | *2. Точку M (a;b;c) послідовно симетрично відобразили відносно координатних площин Oxy, Oxz, Oyz. Доведіть, що отримана при цьому точка M' симетрична точці M відносно початку координат. | + | *<b>ЗАДАЧА 2.</b> Точку M (a;b;c) послідовно симетрично відобразили відносно координатних площин Oxy, Oxz, Oyz. Доведіть, що отримана при цьому точка M' симетрична точці M відносно початку координат. |
| − | Доведення | + | ''Доведення:'' Точка M (a;b;c) при симетрії відносно площини Oxy переходить у точку N (a;b;-c). Точка N (a;b;-c) − при симетрії відносно площини Oxz переходить у точку K (a;-b;-c).Точка K (a;-b;-c) при симетрії відносно площини Oyz переходить у точку M' (-a;-b;-c). Середина відрізка MM' має координати (0;0;0). Отже, початок координат — центр симетрії точок M і M'. |
| − | *3.Точка A(5;2;3) належить колу із центром O. Знайдіть радіус кола, якщо при симетрії відносно осі ординат центр кола переходить у точку | + | *<b>ЗАДАЧА 3.</b> Точка A(5;2;3) належить колу із центром O. Знайдіть радіус кола, якщо при симетрії відносно осі ординат центр кола переходить у точку O(-2;1;1). |
| − | Розв’язання | + | ''Розв’язання:'' Оскільки точка O при симетрії відносно осі ординат перейшла в точку O′(−2;1;1),то точка O має координати: O(2;1;−1). <br> |
| − | O(2;1;−1). <br> | + | |
<math>R^2=OA^2=(5-2)^2+(2-1)^2+(3+1)^2=9+1+16;</math> <math>R=\sqrt{26}</math><br> | <math>R^2=OA^2=(5-2)^2+(2-1)^2+(3+1)^2=9+1+16;</math> <math>R=\sqrt{26}</math><br> | ||
| − | + | ''Відповідь:''<math>R=\sqrt{26}</math>. | |
| + | *<b>ЗАДАЧА 4.</b> Дано точки <math>A(0;-4;5)</math> і <math>B(6;8;-1).</math> Знайдіть координати точки, симетричної середині відрізка AB відносно: а) точки <math>O(0;-2;2)</math>; б) осі аплікат; в) площини Oxy. | ||
| + | ''Розв’язання:'' а) Знайдемо середину відрізка AB — точку <math>C(x_{1};y_{1};z_{1}).</math> <math>x_{1}=\frac{0+6}{2}=3;</math> <math>y_{1}=\frac{-4+8}{2}=2;</math> <math>z_{1}=\frac{5-1}{2}=2.</math> <math>C(3;2;2).</math> Оскільки точка <math>C_{1}(x_{2};y_{2};z_{2})</math> симетрична точці С відносно точки O(0;-2;2), то точка O — середина відрізка <math>CC_{1}</math>. Тоді | ||
| + | <math>\frac{x_{2}+3}{2}=0;</math> <math>x_{2}=-3</math> і точка C' має координати: <math>\frac{y_{2}+2}{2}=-2;</math> <math>y_{2}=-6;</math> <math>\frac{z_{2}+2}{2}=2;</math> <math>z_{2}=2.</math> . Отже, <math>C_{1}(-3;-6;2).</math><br> | ||
| + | б) Оскільки точка <math>C_{2}</math> симетрична точці С відносно осі аплікат, то точка <math>C_{2}</math>, яка їй симетрична, має координати: <math>C_{2}(-3;-2;2).</math><br> | ||
| + | в) Точка <math>C_{3},</math> симетрична точці C відносно площини Oxy, має координати: <math>C_{3}(3;2;-2).</math><br> | ||
| + | ''Відповідь:'' <math>C_{1}(-3;-6;2),</math> <math>C_{2}(-3;-2;2),</math> <math>C_{2}(-3;-2;2).</math> | ||
| + | *<b>ЗАДАЧА 5.</b> Доведіть, що якщо дві прямі симетричні відносно площини α, то вони лежать в одній площині. | ||
| + | ''Доведення:'' Розглянемо довільні точки A і B прямої a, які при симетрії відносно площини α переходять у точки A' і B' прямої a'. За означенням симетрії відносно площини AA'⊥α, BB'⊥α, отже, AA'||BB' . Очевидно, що точки A, A', B, B' лежать у площині, яка визначається цими паралельними прямими, тобто прямі a і a' також лежать у цій площині. | ||
===7. ПІДБИТТЯ ПІДСУМКІВ УРОКУ=== | ===7. ПІДБИТТЯ ПІДСУМКІВ УРОКУ=== | ||
| + | Фронтальна бесіда[[Файл:Куб.png|right|рис. 2]] | ||
| + | # Що називають перетворенням симетрії відносно точки? відносно прямої? відносно площини? | ||
| + | # У кубі ABCDA1B1C1D1 (рис. 2) діагоналі основи ABCD перетинаються в точці O. Визначте: | ||
| + | *точку, симетричну точці A відносно площини BDD1; | ||
| + | *пряму, симетричну прямій CD відносно точки O; | ||
| + | *площину, симетричну площині AA1B1 відносно точки O; | ||
| + | *пряму, симетричну прямій DD1 відносно площини AA1C1; | ||
| + | *площину, симетричну площині AA1B1 відносно прямої BB1. | ||
| + | |||
| + | ===8. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ=== | ||
| + | *Вивчити конспект; | ||
| + | *№335; №351; №395; (підручник "Бевз В.Г. Геометрія. Профільний рівень" 2011р) | ||
| + | *Накреслити куб ABCDA'B'C'D'. Побудувати фігуру, в яку переходить цей куб при симетрії відносно: а) середини ребра A'B'; б) прямої BD. | ||
=Методичні та дидактичні матеріали= | =Методичні та дидактичні матеріали= | ||
| − | # | + | #[https://schgeometry.blogspot.com/ Блог "Цікава шкільна геометрія"] |
#[[Стінгазета "КАЛЕЙДОСКОП"]] | #[[Стінгазета "КАЛЕЙДОСКОП"]] | ||
#[[Буклет "Головоломки на складання симетричних фігур"]] | #[[Буклет "Головоломки на складання симетричних фігур"]] | ||
| − | # | + | # [https://www.mindmeister.com/1098340998#/ Ментальна карта] |
| − | #Тест | + | #[http://master-test.net/ru/quiz/testing/id/114980/ Тест] |
#Ігри для учнів: [https://www.studystack.com/crossword-2778103 Кросворд], [https://www.jigsawplanet.com/?rc=play&pid=26a729fb96d0 Пазл] | #Ігри для учнів: [https://www.studystack.com/crossword-2778103 Кросворд], [https://www.jigsawplanet.com/?rc=play&pid=26a729fb96d0 Пазл] | ||
#[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1lYRZkxOZcyKTIrJ0Sf6ZxmE_d9Y-FfDu00Zwcjpewfo/template/preview?usp=drive_web&ouid=%7BuserId%7D Електронний журнал] | #[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1lYRZkxOZcyKTIrJ0Sf6ZxmE_d9Y-FfDu00Zwcjpewfo/template/preview?usp=drive_web&ouid=%7BuserId%7D Електронний журнал] | ||
| − | |||
=Інформаційні ресурси= | =Інформаційні ресурси= | ||
| Рядок 93: | Рядок 112: | ||
===Відеоматеріали=== | ===Відеоматеріали=== | ||
| − | #. | + | #[https://youtu.be/d7u7D3N6HpI/ Симетрія у просторі] |
| − | #. | + | #[https://youtu.be/MErYun1EyY0/ Симетрія привильних багатогранників] |
| − | + | ||
===Електронні ресурси=== | ===Електронні ресурси=== | ||
Поточна версія на 19:10, 28 травня 2018
Зміст
- 1 Навчальний предмет
- 2 Тема уроку
- 3 Хід уроку
- 3.1 1. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП
- 3.2 2. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ
- 3.3 3. АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ
- 3.4 4. ФОРМУЛЮВАННЯ ТЕМИ, МЕТИ Й ЗАВДАНЬ УРОКУ; МОТИВАЦІЯ НАВЧАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ
- 3.5 5. СПРИЙНЯТТЯ та УСВІДОМЛЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ
- 3.6 6. ОСМИСЛЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ
- 3.7 7. ПІДБИТТЯ ПІДСУМКІВ УРОКУ
- 3.8 8. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
- 4 Методичні та дидактичні матеріали
- 5 Інформаційні ресурси
Навчальний предмет
Геометрія
Вік учнів, клас
16-17 років, 11 клас
Тема уроку
ПЕРЕТВОРЕННЯ СИМЕТРІЇ У ПРОСТОРІ
Тип уроку
- Урок засвоєння нових знань;
Мета уроку
- Навчальна мета: сформувати в учнів знання про перетворення симетрії у просторі, вміння застосовувати отримані знання під час розв’язування задач;
- Розвивальна мета: розвивати просторові уявлення, пам’ять, логічне мислення;
- Виховна мета: виховувати наполегливість, працьовитість.
Хід уроку
1. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП
Привітання з учнями. Перевірка готовності учнів до уроку. Налаштування на роботу.
Блог учителя "Цікава шкільна геометрія"
2. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ
На дошці записано кілька «домашніх задач» з навмисно допущеними помилками. Учням необхідно віднайти та виправити ці помилки.
3. АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ
Фронтальна бесіда:
- Назвіть види перетворень фігур на площині.
- Назвіть види перетворень симетрії на площині.
- Які дві точки називають симетричними відносно даної точки на площині? відносно прямої на площині?
- Назвіть фігури, які мають центр симетрії.
- Які відомі вам фігури на площині мають вісь симетрії?
- Які властивості має перетворення симетрії на площині?
4. ФОРМУЛЮВАННЯ ТЕМИ, МЕТИ Й ЗАВДАНЬ УРОКУ; МОТИВАЦІЯ НАВЧАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ
Чи часто ви дивитесь у дзеркало? А чи знаєте ви, що й під час розглядання свого відображення у дзеркалі маєте справу з математикою, а саме з одним із видів просторової симетрії. Сьогодні ми поговоримо про це.
5. СПРИЙНЯТТЯ та УСВІДОМЛЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ
- Поняття симетрії відносно точки у просторі.
Точки A і A' називають симетричними відносно точки O, якщо точка O — середина відрізка AA'. Перетворенням симетрії відносно точки O (центральною симетрією) називають таке перетворення, при якому кожна точка даної фігури
переходить у точку, симетричну їй відносно точки O.
Якщо симетрія відносно точки O переводить дану фігуру в ту саму фігуру, то таку фігуру називають центральносиметричною, а точку O — її центром симетрії. Прикладом такої фігури є прямокутний паралелепіпед. Його центр симетрії — точка перетину діагоналей паралелепіпеда.
- Поняття симетрії відносно прямої у просторі.
Точки A і A' називають симетричними відносно прямої l, якщо ця пряма перпендикулярна до відрізка AA' і проходить через його середину.
- Поняття симетрії відносно площини у просторі.
Точки A і A' називають симетричними відносно площини α, якщо ця площина перпендикулярна до відрізка AA' і проходить
через його середину (рис. 1). Точки площини α вважаються симетричними самі до себе. При цьому площину α називають площиною симетрії.
Перетворенням симетрії відносно площини α називають таке перетворення, при якому кожна точка даної фігури переходить
у точку, симетричну їй відносно площини α.
Якщо перетворення симетрії відносно площини α переводитьдану фігуру в себе, то таку фігуру називають симетричною відносно
площини α. Наприклад, куля є симетричною відносно будь-якої площини, яка проходить через її центр.
Учитель пропонує учням ознайомитися з таблицею, заздалегідь підготовленою на дошці, і сформувати уявлення про те, що
точки, симетричні точці A(x;y;z) відносно початку координат,координатних осей і площин, мають такі координати.
6. ОСМИСЛЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ
Розв'язання задач:
- ЗАДАЧА 1. Точки A і B симетричні відносно точки C. Знайдіть координати точки C, якщо A(5;-3;4) і B(-3;1;-2).
Відповідь: C(1;-1;1).
- ЗАДАЧА 2. Точку M (a;b;c) послідовно симетрично відобразили відносно координатних площин Oxy, Oxz, Oyz. Доведіть, що отримана при цьому точка M' симетрична точці M відносно початку координат.
Доведення: Точка M (a;b;c) при симетрії відносно площини Oxy переходить у точку N (a;b;-c). Точка N (a;b;-c) − при симетрії відносно площини Oxz переходить у точку K (a;-b;-c).Точка K (a;-b;-c) при симетрії відносно площини Oyz переходить у точку M' (-a;-b;-c). Середина відрізка MM' має координати (0;0;0). Отже, початок координат — центр симетрії точок M і M'.
- ЗАДАЧА 3. Точка A(5;2;3) належить колу із центром O. Знайдіть радіус кола, якщо при симетрії відносно осі ординат центр кола переходить у точку O(-2;1;1).
Розв’язання: Оскільки точка O при симетрії відносно осі ординат перейшла в точку O′(−2;1;1),то точка O має координати: O(2;1;−1).
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): R^2=OA^2=(5-2)^2+(2-1)^2+(3+1)^2=9+1+16;
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): R=\sqrt{26}
Відповідь:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): R=\sqrt{26}
.
- ЗАДАЧА 4. Дано точки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A(0;-4;5)
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B(6;8;-1). Знайдіть координати точки, симетричної середині відрізка AB відносно: а) точки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): O(0;-2;2)
- б) осі аплікат; в) площини Oxy.
Розв’язання: а) Знайдемо середину відрізка AB — точку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C(x_{1};y_{1};z_{1}).
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{1}=\frac{0+6}{2}=3;
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{1}=\frac{-4+8}{2}=2;
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z_{1}=\frac{5-1}{2}=2.
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C(3;2;2).
Оскільки точка Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C_{1}(x_{2};y_{2};z_{2})
симетрична точці С відносно точки O(0;-2;2), то точка O — середина відрізка Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): CC_{1}
. Тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{x_{2}+3}{2}=0;
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{2}=-3
і точка C' має координати: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{y_{2}+2}{2}=-2;
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{2}=-6;
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{z_{2}+2}{2}=2;
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z_{2}=2.
. Отже, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C_{1}(-3;-6;2).
б) Оскільки точка Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C_{2}
симетрична точці С відносно осі аплікат, то точка Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C_{2}
, яка їй симетрична, має координати: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C_{2}(-3;-2;2).
в) Точка Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C_{3},
симетрична точці C відносно площини Oxy, має координати: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C_{3}(3;2;-2).
Відповідь: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C_{1}(-3;-6;2),
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C_{2}(-3;-2;2),
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C_{2}(-3;-2;2).
- ЗАДАЧА 5. Доведіть, що якщо дві прямі симетричні відносно площини α, то вони лежать в одній площині.
Доведення: Розглянемо довільні точки A і B прямої a, які при симетрії відносно площини α переходять у точки A' і B' прямої a'. За означенням симетрії відносно площини AA'⊥α, BB'⊥α, отже, AA'||BB' . Очевидно, що точки A, A', B, B' лежать у площині, яка визначається цими паралельними прямими, тобто прямі a і a' також лежать у цій площині.
7. ПІДБИТТЯ ПІДСУМКІВ УРОКУ
Фронтальна бесіда
- Що називають перетворенням симетрії відносно точки? відносно прямої? відносно площини?
- У кубі ABCDA1B1C1D1 (рис. 2) діагоналі основи ABCD перетинаються в точці O. Визначте:
- точку, симетричну точці A відносно площини BDD1;
- пряму, симетричну прямій CD відносно точки O;
- площину, симетричну площині AA1B1 відносно точки O;
- пряму, симетричну прямій DD1 відносно площини AA1C1;
- площину, симетричну площині AA1B1 відносно прямої BB1.
8. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
- Вивчити конспект;
- №335; №351; №395; (підручник "Бевз В.Г. Геометрія. Профільний рівень" 2011р)
- Накреслити куб ABCDA'B'C'D'. Побудувати фігуру, в яку переходить цей куб при симетрії відносно: а) середини ребра A'B'; б) прямої BD.
Методичні та дидактичні матеріали
- Блог "Цікава шкільна геометрія"
- Стінгазета "КАЛЕЙДОСКОП"
- Буклет "Головоломки на складання симетричних фігур"
- Ментальна карта
- Тест
- Ігри для учнів: Кросворд, Пазл
- Електронний журнал
Інформаційні ресурси
Друковані джерела
- Александров А.Д. "Стереометрия. Геометрия в пространстве"
- Шарль П'єр Франсуа Дюпен "Геометрія мистецтв і ремесел"
- Герман Вейль "Симметрия"
Відеоматеріали
Електронні ресурси
Автор статті
Студентка фізико-математичного факультету, групи МІ17М, спеціальність математика
Центральноукраїнський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка
