Відмінності між версіями «Початково-крайова задача для рівняння теплопровідності. Метод Фур’є»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
 
(не показано 22 проміжні версії 2 учасників)
Рядок 1: Рядок 1:
 +
'''<font color='Salmon' size=3>Початково-крайова задача для рівняння теплопровідності. Метод Фур'є.  </font>'''
 +
 
Навідміну від попереднього пункта рівняння теплопровідності однорідне, але початкова умова неоднорідна.
 
Навідміну від попереднього пункта рівняння теплопровідності однорідне, але початкова умова неоднорідна.
  
<math>{\begin{cases} {U}{t}-a^2{U}_{xx}=0, (1) & \\ U(0,t)=0,(2) & \\U(l,t)=0, (3)& \\U(x,0)=\varphi(x),(4)\end{cases}}</math>
+
<math>{\begin{cases} {U}{t}-a^2{U}_{xx}=0, {\color{Blue}(1)} & \\ U(0,t)=0,{\color{Blue}(2)} & \\U(l,t)=0, {\color{Blue}(3)} & \\U(x,0)=\varphi(x),{\color{Blue}(4)}\end{cases}}</math>
 
U-температура
 
U-температура
  
Рядок 9: Рядок 11:
 
Задачу будемо розв'язувати методом Фур'є(методом відокремлюваних змінних)
 
Задачу будемо розв'язувати методом Фур'є(методом відокремлюваних змінних)
  
<math>{U(x,t)=X(x)T(t), (5)}</math>
+
<math>{U(x,t)=X(x)T(t), {\color{Blue}(5)}}</math>
  
  
Рядок 16: Рядок 18:
 
<math>{{X}{T'}=a^2{X''}{T}} {\mid\frac{1}{{X}{T}a^2}}</math>
 
<math>{{X}{T'}=a^2{X''}{T}} {\mid\frac{1}{{X}{T}a^2}}</math>
  
<math>{ \frac{T'}{a^2{T}}=\frac{X''}{X}=-\lambda}\Rightarrow \;\begin{cases} T'+a^2{\lambda{T}}=0, (6)& \\X''+\lambda{X}=0,(7)\end{cases}</math> - звичайні диференціальні рівняння другого порядку
+
<math>{ \frac{T'}{a^2{T}}=\frac{X''}{X}=-\lambda}\Rightarrow \;\begin{cases} T'+a^2{\lambda{T}}=0, {\color{Blue}(6)}& \\X''+\lambda{X}=0,{\color{Blue}(7)}\end{cases}</math> - звичайні диференціальні рівняння другого порядку
  
 
<math>{(5)\rightarrow \;(2):}</math>
 
<math>{(5)\rightarrow \;(2):}</math>
  
<math>{{X(0)}{T(t)}=0\Rightarrow \;X(0)=0,(8)}</math>
+
<math>{{X(0)}{T(t)}=0\Rightarrow \;X(0)=0,{\color{Blue}(8)}}</math>
  
 
<math>{(5)\rightarrow \;(3):}</math>
 
<math>{(5)\rightarrow \;(3):}</math>
  
<math>{{X(l)}{T(t)}\Rightarrow \;X(l)=0,(9)}</math>
+
<math>{{X(l)}{T(t)}\Rightarrow \;X(l)=0,{\color{Blue}(9)}}</math>
  
Розглянемо задачу (7)-(9) .Це крайова задача функції відносно X(x) з параметром <math>{\lambda}</math>. Вона називається задачею Штурма-Ліувілля. Розв'язати цю задачу означає : знайти для яких значень параметра <math>{\lambda}</math> існують нетривіальні розв'язки (7)-(9). Причому значення параметра називаються власними значеннями, а самі нетривіальні розв'язки - власними функціями.
+
Розглянемо задачу (7)-(9) .Це крайова задача відносно функції X(x) з параметром <math>{\lambda}</math>. Вона називається задачею Штурма-Ліувілля. Розв'язати цю задачу означає : знайти для яких значень параметра <math>{\lambda}</math> існують нетривіальні розв'язки (7)-(9). Причому значення параметра називаються власними значеннями, а самі нетривіальні розв'язки - власними функціями.
  
 
<math>{(7)}</math> - характеристичне рівняння      <math>{\alpha^2+\lambda=0\Rightarrow \;\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}}</math>
 
<math>{(7)}</math> - характеристичне рівняння      <math>{\alpha^2+\lambda=0\Rightarrow \;\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}}</math>
  
 
a) <math>{\lambda<0}</math>
 
a) <math>{\lambda<0}</math>
 +
 
<math>{\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}\in\mathbb{R}}</math>
 
<math>{\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}\in\mathbb{R}}</math>
  
 
<math>{x=c_1{e^{\sqrt{-\lambda}{x}}}+c_2{e^{-\sqrt{-\lambda}{x}}}}</math>
 
<math>{x=c_1{e^{\sqrt{-\lambda}{x}}}+c_2{e^{-\sqrt{-\lambda}{x}}}}</math>
  
Підставляємо у (8)   <math>{X(0)=c_1+c_2=0}</math>
+
Підставляємо у (8) <math>{X(0)=c_1+c_2=0}</math>
  
Підставляємо у (9)   <math>{X(l)=c_1{e^{\sqrt{-\lambda}{l}}}+c_2{e^{-\sqrt{-\lambda}{l}}}}</math>
+
Підставляємо у (9) <math>{X(l)=c_1{e^{\sqrt{-\lambda}{l}}}+c_2{e^{-\sqrt{-\lambda}{l}}}}</math>
  
 
Нетривіальний розв'язок існує, коли <math>{\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ e^\sqrt{-\lambda} & e^{-\sqrt{-\lambda}}  \end{vmatrix} }=0</math> , але це неможливо.
 
Нетривіальний розв'язок існує, коли <math>{\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ e^\sqrt{-\lambda} & e^{-\sqrt{-\lambda}}  \end{vmatrix} }=0</math> , але це неможливо.
Рядок 45: Рядок 48:
 
b) <math>\lambda=0</math>
 
b) <math>\lambda=0</math>
  
<math>{x''=0\rightarrow \;x'=c_1}\rightarrow \;x={c_1}{x}+c_2</math>
+
Підставляємо у (7)    <math>{x''=0\rightarrow \;x'=c_1}\rightarrow \;x={c_1}{x}+c_2</math>
  
 
Підставляємо у (8)    <math>{X(0)=c_2=0}</math>
 
Підставляємо у (8)    <math>{X(0)=c_2=0}</math>
Рядок 52: Рядок 55:
  
 
Висновок: Нетривіальні розв'язки відсутні, при <math>\lambda=0</math>
 
Висновок: Нетривіальні розв'язки відсутні, при <math>\lambda=0</math>
 +
 +
 +
с)<math>\lambda>0</math>
 +
 +
<math>{\alpha_{1, 2}=\pm{i}{\sqrt\lambda}}</math> є уявними.
 +
 +
<math>{X(x)=c_1{cos{\sqrt{\lambda}{x}}}+c_2{sin{\sqrt{\lambda}{x}}}}</math>
 +
 +
 +
Підставляємо у (8)    <math>{X(0)=c_1+0=0}</math> ,<math>{c_1=0}</math>
 +
 +
Підставляємо у (9)    <math>{X(l)=c_1{cos{\sqrt{\lambda}{l}}}+c_2{sin{\sqrt{\lambda}{l}}}=0\rightarrow \;{sin{\sqrt{\lambda}{l}}}=0\Rightarrow \;{\sqrt{\lambda_k}{l}=\pi{k}} }</math>
 +
 +
<math>{\lambda_k=\left (\frac{\pi{k}}{l} \right)^2 , {\color{Blue}(10)}}</math> - власні значення
 +
 +
Знайдемо власні функції :
 +
 +
<math>{X_k(x)=c{sin\frac{\pi{k}}{l}{x} , {\color{Blue}(11)}}}</math>
 +
 +
Це кінець задачі Штурма-Ліувілля  (7)-(9). Їїрозв'язками є (10) - (11)
 +
 +
Підставляємо власні значення (10) у рівняння (6):
 +
 +
<math>{T'_k+\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{T_k}=0}</math>
 +
 +
Побудуємо характеристичне рівняння або розв'яжемо його інакше як рівняння з відокремленими змінними :
 +
 +
<math>{T_k(t)=A_k{e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}} , {\color{Blue}(12)}}</math>
 +
 +
(12) і (11) підставляємо в (5) :
 +
 +
<math>{U_k(x,t)=a_k{e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x}} , {\color{Blue}(13)}}</math> - це розв'язок рівняння (1), який відповідає тільки крайовим умовам (2) і (3).
 +
 +
Побудуємо відповідний загальний розв'язок, який утворюється лінійною комбінацією часткових розв'язків (13) :
 +
 +
<math>{U(x,t)=\sum_{k=1}^\infty{a_k}e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x},{\color{Blue}(14)}}</math>
 +
 +
(14) підставляємо в (4):
 +
 +
 +
<math>{U(x,t)=\sum_{k=1}^\infty{a_k}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x}=\varphi(x)}}</math>
 +
 +
Розкладемо функцію <math>{\varphi(x)}</math> в ряд Фур'є по sin на проміжку (0,l), при цьому коефіцієнти будуть :
 +
 +
<math>{\varphi_k=\frac{2}{l}\int_0^l\varphi(x){sin\frac{\pi{k}}{l}{x}}dx}, {\color{Blue}(15)}</math>
 +
 +
<math>\sum_{k=1}^\infty{a_k}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x}=\sum_{k=1}^\infty{\varphi_k}sin\frac{\pi{k}}{l}{x}\Rightarrow \;a_k=\varphi_k}</math>
 +
 +
(14),(15) <math>{U(x,t)=\sum_{k=1}^\infty{\varphi_k}e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x},{\color{Blue}(16)}}</math>
 +
 +
(15) і (16) - загальний розв'язок нашої задачі
 +
 +
 +
Виконала [[ Користувач: Дьоміна Катерина ]]
 +
 +
 +
[[category: Вибрані статті з математичного аналізу]]
 +
 +
 +
[http://de.ifmo.ru/--books/0051/1/1_3/141_metrazdper_1.htm метод Фур'є]

Поточна версія на 21:45, 20 травня 2010

Початково-крайова задача для рівняння теплопровідності. Метод Фур'є.

Навідміну від попереднього пункта рівняння теплопровідності однорідне, але початкова умова неоднорідна.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\begin{cases} {U}{t}-a^2{U}_{xx}=0, {\color{Blue}(1)} & \\ U(0,t)=0,{\color{Blue}(2)} & \\U(l,t)=0, {\color{Blue}(3)} & \\U(x,0)=\varphi(x),{\color{Blue}(4)}\end{cases}}

U-температура



Задачу будемо розв'язувати методом Фур'є(методом відокремлюваних змінних)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {U(x,t)=X(x)T(t), {\color{Blue}(5)}}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {(5)\rightarrow \;(1)}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{X}{T'}=a^2{X''}{T}} {\mid\frac{1}{{X}{T}a^2}}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): { \frac{T'}{a^2{T}}=\frac{X''}{X}=-\lambda}\Rightarrow \;\begin{cases} T'+a^2{\lambda{T}}=0, {\color{Blue}(6)}& \\X''+\lambda{X}=0,{\color{Blue}(7)}\end{cases}

- звичайні диференціальні рівняння другого порядку

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {(5)\rightarrow \;(2):}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{X(0)}{T(t)}=0\Rightarrow \;X(0)=0,{\color{Blue}(8)}}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {(5)\rightarrow \;(3):}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{X(l)}{T(t)}\Rightarrow \;X(l)=0,{\color{Blue}(9)}}


Розглянемо задачу (7)-(9) .Це крайова задача відносно функції X(x) з параметром Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\lambda} . Вона називається задачею Штурма-Ліувілля. Розв'язати цю задачу означає : знайти для яких значень параметра Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\lambda}

існують нетривіальні розв'язки (7)-(9). Причому значення параметра називаються власними значеннями, а самі нетривіальні розв'язки - власними функціями.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {(7)}

- характеристичне рівняння      Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\alpha^2+\lambda=0\Rightarrow \;\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}}


a) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\lambda<0}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}\in\mathbb{R}}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {x=c_1{e^{\sqrt{-\lambda}{x}}}+c_2{e^{-\sqrt{-\lambda}{x}}}}


Підставляємо у (8) : Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(0)=c_1+c_2=0}


Підставляємо у (9)  : Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(l)=c_1{e^{\sqrt{-\lambda}{l}}}+c_2{e^{-\sqrt{-\lambda}{l}}}}


Нетривіальний розв'язок існує, коли Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ e^\sqrt{-\lambda} & e^{-\sqrt{-\lambda}} \end{vmatrix} }=0

, але це неможливо.

Висновок : нетривіальні розв'язки відсутні, при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda<0


b) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda=0


Підставляємо у (7) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {x''=0\rightarrow \;x'=c_1}\rightarrow \;x={c_1}{x}+c_2


Підставляємо у (8) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(0)=c_2=0}


Підставляємо у (9) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(l)={c_1}{l}+c_2=0\rightarrow \;c_1=c_2=0}

 , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X\equiv \;0}
- тривіальний.

Висновок: Нетривіальні розв'язки відсутні, при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda=0


с)Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda>0


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\alpha_{1, 2}=\pm{i}{\sqrt\lambda}}

є уявними.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(x)=c_1{cos{\sqrt{\lambda}{x}}}+c_2{sin{\sqrt{\lambda}{x}}}}


Підставляємо у (8) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(0)=c_1+0=0}

,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c_1=0}


Підставляємо у (9) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(l)=c_1{cos{\sqrt{\lambda}{l}}}+c_2{sin{\sqrt{\lambda}{l}}}=0\rightarrow \;{sin{\sqrt{\lambda}{l}}}=0\Rightarrow \;{\sqrt{\lambda_k}{l}=\pi{k}} }


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\lambda_k=\left (\frac{\pi{k}}{l} \right)^2 , {\color{Blue}(10)}}

- власні значення

Знайдемо власні функції :

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X_k(x)=c{sin\frac{\pi{k}}{l}{x} , {\color{Blue}(11)}}}


Це кінець задачі Штурма-Ліувілля (7)-(9). Їїрозв'язками є (10) - (11)

Підставляємо власні значення (10) у рівняння (6):

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {T'_k+\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{T_k}=0}


Побудуємо характеристичне рівняння або розв'яжемо його інакше як рівняння з відокремленими змінними :

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {T_k(t)=A_k{e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}} , {\color{Blue}(12)}}


(12) і (11) підставляємо в (5) :

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {U_k(x,t)=a_k{e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x}} , {\color{Blue}(13)}}

- це розв'язок рівняння (1), який відповідає тільки крайовим умовам (2) і (3).

Побудуємо відповідний загальний розв'язок, який утворюється лінійною комбінацією часткових розв'язків (13) :

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {U(x,t)=\sum_{k=1}^\infty{a_k}e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x},{\color{Blue}(14)}}


(14) підставляємо в (4):


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {U(x,t)=\sum_{k=1}^\infty{a_k}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x}=\varphi(x)}}


Розкладемо функцію Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\varphi(x)}

в ряд Фур'є по sin на проміжку (0,l), при цьому коефіцієнти будуть :

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\varphi_k=\frac{2}{l}\int_0^l\varphi(x){sin\frac{\pi{k}}{l}{x}}dx}, {\color{Blue}(15)}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{k=1}^\infty{a_k}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x}=\sum_{k=1}^\infty{\varphi_k}sin\frac{\pi{k}}{l}{x}\Rightarrow \;a_k=\varphi_k}


(14),(15) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {U(x,t)=\sum_{k=1}^\infty{\varphi_k}e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x},{\color{Blue}(16)}}


(15) і (16) - загальний розв'язок нашої задачі


Виконала Користувач: Дьоміна Катерина


метод Фур'є