Відмінності між версіями «Початково-крайова задача для рівняння теплопровідності. Метод Фур’є»
| (не показано 22 проміжні версії 2 учасників) | |||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
| + | '''<font color='Salmon' size=3>Початково-крайова задача для рівняння теплопровідності. Метод Фур'є. </font>''' | ||
| + | |||
Навідміну від попереднього пункта рівняння теплопровідності однорідне, але початкова умова неоднорідна. | Навідміну від попереднього пункта рівняння теплопровідності однорідне, але початкова умова неоднорідна. | ||
| − | <math>{\begin{cases} {U}{t}-a^2{U}_{xx}=0, (1) & \\ U(0,t)=0,(2) & \\U(l,t)=0, (3)& \\U(x,0)=\varphi(x),(4)\end{cases}}</math> | + | <math>{\begin{cases} {U}{t}-a^2{U}_{xx}=0, {\color{Blue}(1)} & \\ U(0,t)=0,{\color{Blue}(2)} & \\U(l,t)=0, {\color{Blue}(3)} & \\U(x,0)=\varphi(x),{\color{Blue}(4)}\end{cases}}</math> |
U-температура | U-температура | ||
| Рядок 9: | Рядок 11: | ||
Задачу будемо розв'язувати методом Фур'є(методом відокремлюваних змінних) | Задачу будемо розв'язувати методом Фур'є(методом відокремлюваних змінних) | ||
| − | <math>{U(x,t)=X(x)T(t), (5)}</math> | + | <math>{U(x,t)=X(x)T(t), {\color{Blue}(5)}}</math> |
| Рядок 16: | Рядок 18: | ||
<math>{{X}{T'}=a^2{X''}{T}} {\mid\frac{1}{{X}{T}a^2}}</math> | <math>{{X}{T'}=a^2{X''}{T}} {\mid\frac{1}{{X}{T}a^2}}</math> | ||
| − | <math>{ \frac{T'}{a^2{T}}=\frac{X''}{X}=-\lambda}\Rightarrow \;\begin{cases} T'+a^2{\lambda{T}}=0, (6)& \\X''+\lambda{X}=0,(7)\end{cases}</math> - звичайні диференціальні рівняння другого порядку | + | <math>{ \frac{T'}{a^2{T}}=\frac{X''}{X}=-\lambda}\Rightarrow \;\begin{cases} T'+a^2{\lambda{T}}=0, {\color{Blue}(6)}& \\X''+\lambda{X}=0,{\color{Blue}(7)}\end{cases}</math> - звичайні диференціальні рівняння другого порядку |
<math>{(5)\rightarrow \;(2):}</math> | <math>{(5)\rightarrow \;(2):}</math> | ||
| − | <math>{{X(0)}{T(t)}=0\Rightarrow \;X(0)=0,(8)}</math> | + | <math>{{X(0)}{T(t)}=0\Rightarrow \;X(0)=0,{\color{Blue}(8)}}</math> |
<math>{(5)\rightarrow \;(3):}</math> | <math>{(5)\rightarrow \;(3):}</math> | ||
| − | <math>{{X(l)}{T(t)}\Rightarrow \;X(l)=0,(9)}</math> | + | <math>{{X(l)}{T(t)}\Rightarrow \;X(l)=0,{\color{Blue}(9)}}</math> |
| − | Розглянемо задачу (7)-(9) .Це крайова задача | + | Розглянемо задачу (7)-(9) .Це крайова задача відносно функції X(x) з параметром <math>{\lambda}</math>. Вона називається задачею Штурма-Ліувілля. Розв'язати цю задачу означає : знайти для яких значень параметра <math>{\lambda}</math> існують нетривіальні розв'язки (7)-(9). Причому значення параметра називаються власними значеннями, а самі нетривіальні розв'язки - власними функціями. |
<math>{(7)}</math> - характеристичне рівняння <math>{\alpha^2+\lambda=0\Rightarrow \;\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}}</math> | <math>{(7)}</math> - характеристичне рівняння <math>{\alpha^2+\lambda=0\Rightarrow \;\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}}</math> | ||
a) <math>{\lambda<0}</math> | a) <math>{\lambda<0}</math> | ||
| + | |||
<math>{\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}\in\mathbb{R}}</math> | <math>{\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}\in\mathbb{R}}</math> | ||
<math>{x=c_1{e^{\sqrt{-\lambda}{x}}}+c_2{e^{-\sqrt{-\lambda}{x}}}}</math> | <math>{x=c_1{e^{\sqrt{-\lambda}{x}}}+c_2{e^{-\sqrt{-\lambda}{x}}}}</math> | ||
| − | Підставляємо у (8) | + | Підставляємо у (8) : <math>{X(0)=c_1+c_2=0}</math> |
| − | Підставляємо у (9) | + | Підставляємо у (9) : <math>{X(l)=c_1{e^{\sqrt{-\lambda}{l}}}+c_2{e^{-\sqrt{-\lambda}{l}}}}</math> |
Нетривіальний розв'язок існує, коли <math>{\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ e^\sqrt{-\lambda} & e^{-\sqrt{-\lambda}} \end{vmatrix} }=0</math> , але це неможливо. | Нетривіальний розв'язок існує, коли <math>{\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ e^\sqrt{-\lambda} & e^{-\sqrt{-\lambda}} \end{vmatrix} }=0</math> , але це неможливо. | ||
| Рядок 45: | Рядок 48: | ||
b) <math>\lambda=0</math> | b) <math>\lambda=0</math> | ||
| − | <math>{x''=0\rightarrow \;x'=c_1}\rightarrow \;x={c_1}{x}+c_2</math> | + | Підставляємо у (7) <math>{x''=0\rightarrow \;x'=c_1}\rightarrow \;x={c_1}{x}+c_2</math> |
Підставляємо у (8) <math>{X(0)=c_2=0}</math> | Підставляємо у (8) <math>{X(0)=c_2=0}</math> | ||
| Рядок 52: | Рядок 55: | ||
Висновок: Нетривіальні розв'язки відсутні, при <math>\lambda=0</math> | Висновок: Нетривіальні розв'язки відсутні, при <math>\lambda=0</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | с)<math>\lambda>0</math> | ||
| + | |||
| + | <math>{\alpha_{1, 2}=\pm{i}{\sqrt\lambda}}</math> є уявними. | ||
| + | |||
| + | <math>{X(x)=c_1{cos{\sqrt{\lambda}{x}}}+c_2{sin{\sqrt{\lambda}{x}}}}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Підставляємо у (8) <math>{X(0)=c_1+0=0}</math> ,<math>{c_1=0}</math> | ||
| + | |||
| + | Підставляємо у (9) <math>{X(l)=c_1{cos{\sqrt{\lambda}{l}}}+c_2{sin{\sqrt{\lambda}{l}}}=0\rightarrow \;{sin{\sqrt{\lambda}{l}}}=0\Rightarrow \;{\sqrt{\lambda_k}{l}=\pi{k}} }</math> | ||
| + | |||
| + | <math>{\lambda_k=\left (\frac{\pi{k}}{l} \right)^2 , {\color{Blue}(10)}}</math> - власні значення | ||
| + | |||
| + | Знайдемо власні функції : | ||
| + | |||
| + | <math>{X_k(x)=c{sin\frac{\pi{k}}{l}{x} , {\color{Blue}(11)}}}</math> | ||
| + | |||
| + | Це кінець задачі Штурма-Ліувілля (7)-(9). Їїрозв'язками є (10) - (11) | ||
| + | |||
| + | Підставляємо власні значення (10) у рівняння (6): | ||
| + | |||
| + | <math>{T'_k+\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{T_k}=0}</math> | ||
| + | |||
| + | Побудуємо характеристичне рівняння або розв'яжемо його інакше як рівняння з відокремленими змінними : | ||
| + | |||
| + | <math>{T_k(t)=A_k{e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}} , {\color{Blue}(12)}}</math> | ||
| + | |||
| + | (12) і (11) підставляємо в (5) : | ||
| + | |||
| + | <math>{U_k(x,t)=a_k{e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x}} , {\color{Blue}(13)}}</math> - це розв'язок рівняння (1), який відповідає тільки крайовим умовам (2) і (3). | ||
| + | |||
| + | Побудуємо відповідний загальний розв'язок, який утворюється лінійною комбінацією часткових розв'язків (13) : | ||
| + | |||
| + | <math>{U(x,t)=\sum_{k=1}^\infty{a_k}e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x},{\color{Blue}(14)}}</math> | ||
| + | |||
| + | (14) підставляємо в (4): | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <math>{U(x,t)=\sum_{k=1}^\infty{a_k}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x}=\varphi(x)}}</math> | ||
| + | |||
| + | Розкладемо функцію <math>{\varphi(x)}</math> в ряд Фур'є по sin на проміжку (0,l), при цьому коефіцієнти будуть : | ||
| + | |||
| + | <math>{\varphi_k=\frac{2}{l}\int_0^l\varphi(x){sin\frac{\pi{k}}{l}{x}}dx}, {\color{Blue}(15)}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\sum_{k=1}^\infty{a_k}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x}=\sum_{k=1}^\infty{\varphi_k}sin\frac{\pi{k}}{l}{x}\Rightarrow \;a_k=\varphi_k}</math> | ||
| + | |||
| + | (14),(15) <math>{U(x,t)=\sum_{k=1}^\infty{\varphi_k}e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x},{\color{Blue}(16)}}</math> | ||
| + | |||
| + | (15) і (16) - загальний розв'язок нашої задачі | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Виконала [[ Користувач: Дьоміна Катерина ]] | ||
| + | |||
| + | |||
| + | [[category: Вибрані статті з математичного аналізу]] | ||
| + | |||
| + | |||
| + | [http://de.ifmo.ru/--books/0051/1/1_3/141_metrazdper_1.htm метод Фур'є] | ||
Поточна версія на 21:45, 20 травня 2010
Початково-крайова задача для рівняння теплопровідності. Метод Фур'є.
Навідміну від попереднього пункта рівняння теплопровідності однорідне, але початкова умова неоднорідна.
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\begin{cases} {U}{t}-a^2{U}_{xx}=0, {\color{Blue}(1)} & \\ U(0,t)=0,{\color{Blue}(2)} & \\U(l,t)=0, {\color{Blue}(3)} & \\U(x,0)=\varphi(x),{\color{Blue}(4)}\end{cases}}
U-температура
Задачу будемо розв'язувати методом Фур'є(методом відокремлюваних змінних)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {U(x,t)=X(x)T(t), {\color{Blue}(5)}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {(5)\rightarrow \;(1)}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{X}{T'}=a^2{X''}{T}} {\mid\frac{1}{{X}{T}a^2}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): { \frac{T'}{a^2{T}}=\frac{X''}{X}=-\lambda}\Rightarrow \;\begin{cases} T'+a^2{\lambda{T}}=0, {\color{Blue}(6)}& \\X''+\lambda{X}=0,{\color{Blue}(7)}\end{cases}
- звичайні диференціальні рівняння другого порядку
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {(5)\rightarrow \;(2):}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{X(0)}{T(t)}=0\Rightarrow \;X(0)=0,{\color{Blue}(8)}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {(5)\rightarrow \;(3):}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{X(l)}{T(t)}\Rightarrow \;X(l)=0,{\color{Blue}(9)}}
Розглянемо задачу (7)-(9) .Це крайова задача відносно функції X(x) з параметром Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\lambda}
. Вона називається задачею Штурма-Ліувілля. Розв'язати цю задачу означає : знайти для яких значень параметра Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\lambda}
існують нетривіальні розв'язки (7)-(9). Причому значення параметра називаються власними значеннями, а самі нетривіальні розв'язки - власними функціями.
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {(7)}
- характеристичне рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\alpha^2+\lambda=0\Rightarrow \;\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}}
a) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\lambda<0}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}\in\mathbb{R}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {x=c_1{e^{\sqrt{-\lambda}{x}}}+c_2{e^{-\sqrt{-\lambda}{x}}}}
Підставляємо у (8) : Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(0)=c_1+c_2=0}
Підставляємо у (9) : Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(l)=c_1{e^{\sqrt{-\lambda}{l}}}+c_2{e^{-\sqrt{-\lambda}{l}}}}
Нетривіальний розв'язок існує, коли Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ e^\sqrt{-\lambda} & e^{-\sqrt{-\lambda}} \end{vmatrix} }=0
, але це неможливо.
Висновок : нетривіальні розв'язки відсутні, при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda<0
b) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda=0
Підставляємо у (7) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {x''=0\rightarrow \;x'=c_1}\rightarrow \;x={c_1}{x}+c_2
Підставляємо у (8) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(0)=c_2=0}
Підставляємо у (9) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(l)={c_1}{l}+c_2=0\rightarrow \;c_1=c_2=0}
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X\equiv \;0}
- тривіальний.
Висновок: Нетривіальні розв'язки відсутні, при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda=0
с)Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda>0
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\alpha_{1, 2}=\pm{i}{\sqrt\lambda}}
є уявними.
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(x)=c_1{cos{\sqrt{\lambda}{x}}}+c_2{sin{\sqrt{\lambda}{x}}}}
Підставляємо у (8) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(0)=c_1+0=0}
,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c_1=0}
Підставляємо у (9) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(l)=c_1{cos{\sqrt{\lambda}{l}}}+c_2{sin{\sqrt{\lambda}{l}}}=0\rightarrow \;{sin{\sqrt{\lambda}{l}}}=0\Rightarrow \;{\sqrt{\lambda_k}{l}=\pi{k}} }
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\lambda_k=\left (\frac{\pi{k}}{l} \right)^2 , {\color{Blue}(10)}}
- власні значення
Знайдемо власні функції :
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X_k(x)=c{sin\frac{\pi{k}}{l}{x} , {\color{Blue}(11)}}}
Це кінець задачі Штурма-Ліувілля (7)-(9). Їїрозв'язками є (10) - (11)
Підставляємо власні значення (10) у рівняння (6):
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {T'_k+\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{T_k}=0}
Побудуємо характеристичне рівняння або розв'яжемо його інакше як рівняння з відокремленими змінними :
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {T_k(t)=A_k{e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}} , {\color{Blue}(12)}}
(12) і (11) підставляємо в (5) :
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {U_k(x,t)=a_k{e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x}} , {\color{Blue}(13)}}
- це розв'язок рівняння (1), який відповідає тільки крайовим умовам (2) і (3).
Побудуємо відповідний загальний розв'язок, який утворюється лінійною комбінацією часткових розв'язків (13) :
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {U(x,t)=\sum_{k=1}^\infty{a_k}e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x},{\color{Blue}(14)}}
(14) підставляємо в (4):
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {U(x,t)=\sum_{k=1}^\infty{a_k}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x}=\varphi(x)}}
Розкладемо функцію Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\varphi(x)}
в ряд Фур'є по sin на проміжку (0,l), при цьому коефіцієнти будуть :
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\varphi_k=\frac{2}{l}\int_0^l\varphi(x){sin\frac{\pi{k}}{l}{x}}dx}, {\color{Blue}(15)}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{k=1}^\infty{a_k}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x}=\sum_{k=1}^\infty{\varphi_k}sin\frac{\pi{k}}{l}{x}\Rightarrow \;a_k=\varphi_k}
(14),(15) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {U(x,t)=\sum_{k=1}^\infty{\varphi_k}e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x},{\color{Blue}(16)}}
(15) і (16) - загальний розв'язок нашої задачі
Виконала Користувач: Дьоміна Катерина
