Відмінності між версіями «Косинус та синус перетворення Фур'є»
Матеріал з Вікі ЦДУ
| (не показана одна проміжна версія 2 учасників) | |||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
:Розглянемо часткові випадки: | :Розглянемо часткові випадки: | ||
| − | :'''1'''.Нехай функція <math>f(x)</math>-парна,<math>f(t)cos (\alpha\ t)</math>-парна,тоді:<math>{A(alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt</math> | + | :'''1'''.Нехай функція <math>f(x)</math>- парна ,<math>f(t)cos (\alpha\ t)</math>- парна , тоді : <math>{A(\alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt</math> |
| − | :<math>f(t)sin(\alpha\ t)</math>-непарна,тоді:<math>{B(alpha)}=0;f(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}</math>;Якщо функція f(x)-довільна,визначена на проміжку (0; | + | :<math>f(t)sin(\alpha\ t)</math>- непарна , тоді :<math>{B(\alpha)}=0;f(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}</math>; |
| − | f(x), | + | : Якщо функція f(x)- довільна , визначена на проміжку <math>(0;\infty)</math>, то парне продовження цієї функції <math>{f_{2}(x) = \begin{cases} |
| − | f(-x), | + | f(x), x\geqslant{0} \\ |
| − | :<math>f_2(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}</math> | + | f(-x),x<0 \\ |
| − | :Для будь-якого <math>x>=0</math>;<math>f(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}</math>(*) | + | \end{cases}}</math> |
| − | :'''2'''.Нехай <math>f(x)</math>-непарна,тоді <math>f(t)cos (\alpha\ t)</math>-непарна,<math>f(t)sin (\alpha\ t)</math>-парна;<math>{A(alpha)}=0</math> | + | |
| − | :<math>{B(alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt</math> | + | :розвинення парного продовження: |
| + | :<math>f_2(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}</math> | ||
| + | :Для будь-якого <math>x>=0</math>;<math>f(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}</math>(*) | ||
| + | :'''2'''.Нехай <math>f(x)</math>- непарна, тоді <math>f(t)cos (\alpha\ t)</math>- непарна,<math>f(t)sin (\alpha\ t)</math>- парна;<math>{A(\alpha)}=0</math> | ||
| + | :<math>{B(\alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt</math> | ||
:<math>f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}</math> | :<math>f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}</math> | ||
| − | Якщо функція <math>f(x)</math>-довільна,визначена на проміжку,тоді непарне продовження буде | + | Якщо функція <math>f(x)</math>- довільна, визначена на проміжку <math>(0;\infty)</math>, тоді непарне продовження буде: |
| − | :<math> | + | :<math>f_{1}(x) = \begin{cases} |
f(x), & x > 0 \\ | f(x), & x > 0 \\ | ||
0, & x = 0 \\ | 0, & x = 0 \\ | ||
| − | f(-x), & x < 0 | + | f(-x), & x < 0\\ |
| − | \end{cases} | + | \end{cases}</math> |
| − | :<math>f_1(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}</math> | + | :розвинення непарного продовження: |
| + | :<math>f_1(x)=\int_0^\infty {B(\alpha)}sin (\alpha\ x){d(\alpha)}</math> | ||
:Для будь-якого<math>x>=0</math> | :Для будь-якого<math>x>=0</math> | ||
| − | :<math>f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}</math>(**) | + | :<math>f(x)=\int_0^\infty {B(\alpha)}sin (\alpha\ x){d(\alpha)}</math>(**) |
:Розглянемо формулу (*),тоді отримаємо: | :Розглянемо формулу (*),тоді отримаємо: | ||
| − | :<math>f(x)= | + | :<math>f(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^\infty (\frac{2}{\pi}\int_0^\infty f(t)cos{t\alpha}dt)cos{x\alpha}dx</math>; |
| − | :<math>{F(alpha)}=\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt</math> | + | :<math>{F(\alpha)}={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt</math> називається '''<font color='green' size=3> Косинус-перетворенням </font>'''функції<math>f(x)</math>, а функція <math>{\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty {F(\alpha)}sin(\alpha\ x){d(\alpha)}</math> називається '''<font color='red' size=3> Оберненим косинус-перетворенням </font>'''для <math>f(x)</math> |
| − | :Аналогічно вводится пряме та обернене синус-перетворення<math>f(x)</math> | + | :Аналогічно вводится пряме та обернене синус-перетворення <math>f(x)</math> |
| + | :<math>{\Phi(\alpha)}={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt</math>- пряме сінус-перетворення функції<math>f(x)</math> | ||
| + | |||
| + | :<math>f(x)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty {\phi(\alpha)}sin(\alpha\ x){d(\alpha)}</math>- обернене сінус перетворення функції <math>f(x)</math> | ||
| + | |||
| + | |||
:'''''Зауваження''''': | :'''''Зауваження''''': | ||
| − | :В деякій літературі пряме синус та косинус-перетворення вводиться з <math>(\frac{2}{\pi})</math>,а оберене з 1. | + | :В деякій літературі пряме синус та косинус-перетворення вводиться з <math>(\frac{2}{\pi})</math>, а оберене з 1. |
| − | :Функція <math>f(x)</math>називають її'''<font color='orange' size=3>Оригіналом</font>''',а функції називають '''<font color='orange' size=3>Образом</font>'''функції<math>f(x)</math> у просторі відповідного перетворення. | + | :Функція <math>f(x)</math> називають її'''<font color='orange' size=3> Оригіналом </font>''', а функції <math>{\Phi(\alpha)}</math> та <math>{F(\alpha)}</math> називають '''<font color='orange' size=3> Образом </font>'''функції<math>f(x)</math> у просторі відповідного перетворення. |
:'''''Додаткова інформація''''' | :'''''Додаткова інформація''''' | ||
| − | :При кутовій зміні частоті,змінюється і циклічна частота при цьому косинус-перетвореняя представляє наступні дві формули: | + | : При кутовій зміні частоті, змінюється і циклічна частота при цьому косинус-перетвореняя представляє наступні дві формули: |
:<math>g_c(w)=2\int_0^\infty f(t)cos({2\pi}ft)dt</math> | :<math>g_c(w)=2\int_0^\infty f(t)cos({2\pi}ft)dt</math> | ||
| Рядок 33: | Рядок 43: | ||
:<math>f(t)=(\frac{1}{\pi})\int_0^\infty g_c(f)cos({2\pi}ft)df</math> | :<math>f(t)=(\frac{1}{\pi})\int_0^\infty g_c(f)cos({2\pi}ft)df</math> | ||
| − | :Якщо наша функція <math>f(x)</math>визначена на інтервалі<math>(-L/2,L/2)</math>,то модель Фур'є буде: | + | : Якщо наша функція <math>f(x)</math> визначена на інтервалі <math>(-L/2,L/2)</math>, то модель Фур'є буде: |
:<math>f(x)=a_0/(2)+\sum^{\infin}_{k=1}(a_k cos({2\pi}kx)/L)+b_k sin({2\pi}kx)/L)</math> | :<math>f(x)=a_0/(2)+\sum^{\infin}_{k=1}(a_k cos({2\pi}kx)/L)+b_k sin({2\pi}kx)/L)</math> | ||
| − | :Так як визначено у формулі основна частота цієї <math>\Delta f=1/L</math> і всіх вищих гармонік частоти <math>f_k</math>є цілими кратними основної частоти.Тобто,<math>f_k=k/L=k\Delta f</math>. | + | :Так як визначено у формулі основна частота цієї <math>\Delta f=1/L</math> і всіх вищих гармонік частоти <math>f_k</math> є цілими кратними основної частоти. Тобто,<math>f_k=k/L=k\Delta f</math>. |
| − | :Зараз ми стикаємось з перспективою даючи <math>(L \to 0)</math> | + | |
| + | :Зараз ми стикаємось з перспективою даючи <math>(L \to 0)</math>з якого слідує, що <math>\Delta f\to 0</math> і, отже, поняття гармонійної частоти перестане бути корисним. | ||
| + | |||
| + | :Для того, щоб врятувати ситуацію, ми повинні відокремлювати поняття фізичної частоти і номер гармоніки. Щоб зробити це, ми першим позначемо зміни, з тим, що ми можемо лікувати коефіцієнти Фур'є в залежності від частоти змінного <math>F_k</math> , яка приймає дискретні значення, кратні ΔF. Таким чином попереднє рівняння буде мати вигляд: | ||
| + | :<math>f(x)=a_0/(2)+\sum^{\infin}_{k=1}(a(f_k)cos({2\pi}x f_k)+b(f_k)sin({2\pi}x f_k)</math> | ||
| + | :Також є такі формули косинус та синус перетворення Фур'є | ||
| + | :'''<font color='green' size=3> Косинус-перетворення Фур'є </font>''' | ||
| + | :<math>F_c(\varphi)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)e^{-i\varphi t}dt</math> | ||
| + | :'''<font color='green' size=3> Синус-перетворення Фур'є </font>''' | ||
| + | :<math>F_s(\varphi)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)sin(\varphi)dt </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Виконала: [[Користувач:Левченко Марина Олександрівна|Левченко Марина Олександрівна]] | ||
| + | |||
| + | |||
| + | [[category: Вибрані статті з математичного аналізу]] | ||
Поточна версія на 19:55, 20 травня 2010
- Розглянемо часткові випадки:
- 1.Нехай функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
- парна ,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) - парна , тоді : Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(\alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin(\alpha\ t)
- непарна , тоді :Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(\alpha)}=0;f(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}
- Якщо функція f(x)- довільна , визначена на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (0;\infty)
, то парне продовження цієї функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f_{2}(x) = \begin{cases} f(x), x\geqslant{0} \\ f(-x),x<0 \\ \end{cases}}
- розвинення парного продовження:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_2(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}
- Для будь-якого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}
(*)
- 2.Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
- непарна, тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) - непарна,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin (\alpha\ t) - парна;Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(\alpha)}=0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(\alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}
Якщо функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) - довільна, визначена на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (0;\infty) , тоді непарне продовження буде:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{1}(x) = \begin{cases} f(x), & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ f(-x), & x < 0\\ \end{cases}
- розвинення непарного продовження:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_1(x)=\int_0^\infty {B(\alpha)}sin (\alpha\ x){d(\alpha)}
- Для будь-якогоНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(\alpha)}sin (\alpha\ x){d(\alpha)}
(**)
- Розглянемо формулу (*),тоді отримаємо:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^\infty (\frac{2}{\pi}\int_0^\infty f(t)cos{t\alpha}dt)cos{x\alpha}dx
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {F(\alpha)}={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt
називається Косинус-перетворенням функціїНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
, а функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty {F(\alpha)}sin(\alpha\ x){d(\alpha)}
називається Оберненим косинус-перетворенням для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
- Аналогічно вводится пряме та обернене синус-перетворення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\Phi(\alpha)}={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt
- пряме сінус-перетворення функціїНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty {\phi(\alpha)}sin(\alpha\ x){d(\alpha)}
- обернене сінус перетворення функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
- Зауваження:
- В деякій літературі пряме синус та косинус-перетворення вводиться з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (\frac{2}{\pi})
, а оберене з 1.
- Функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
називають її Оригіналом , а функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\Phi(\alpha)}
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {F(\alpha)}
називають Образом функціїНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
у просторі відповідного перетворення.
- Додаткова інформація
- При кутовій зміні частоті, змінюється і циклічна частота при цьому косинус-перетвореняя представляє наступні дві формули:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g_c(w)=2\int_0^\infty f(t)cos({2\pi}ft)dt
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)=(\frac{1}{\pi})\int_0^\infty g_c(f)cos({2\pi}ft)df
- Якщо наша функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
визначена на інтервалі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (-L/2,L/2)
, то модель Фур'є буде:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=a_0/(2)+\sum^{\infin}_{k=1}(a_k cos({2\pi}kx)/L)+b_k sin({2\pi}kx)/L)
- Так як визначено у формулі основна частота цієї Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f=1/L
і всіх вищих гармонік частоти Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_k є цілими кратними основної частоти. Тобто,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_k=k/L=k\Delta f
.
- Зараз ми стикаємось з перспективою даючи Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (L \to 0)
з якого слідує, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f\to 0
і, отже, поняття гармонійної частоти перестане бути корисним.
- Для того, щоб врятувати ситуацію, ми повинні відокремлювати поняття фізичної частоти і номер гармоніки. Щоб зробити це, ми першим позначемо зміни, з тим, що ми можемо лікувати коефіцієнти Фур'є в залежності від частоти змінного Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_k
, яка приймає дискретні значення, кратні ΔF. Таким чином попереднє рівняння буде мати вигляд:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=a_0/(2)+\sum^{\infin}_{k=1}(a(f_k)cos({2\pi}x f_k)+b(f_k)sin({2\pi}x f_k)
- Також є такі формули косинус та синус перетворення Фур'є
- Косинус-перетворення Фур'є
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_c(\varphi)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)e^{-i\varphi t}dt
- Синус-перетворення Фур'є
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_s(\varphi)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)sin(\varphi)dt
Виконала: Левченко Марина Олександрівна
