Відмінності між версіями «Теореми додавання для циліндричних функцій.»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
 
(не показані 2 проміжні версії цього учасника)
Рядок 2: Рядок 2:
  
  
Нехай задані точки: <math>P_1(\rho_1,\varphi_1)</math> , <math>P_2(\rho_2,\varphi_2)</math> , O(0,0)
+
Нехай задані точки: <math>P_1(\rho_1,\varphi_1)</math> , <math>P_2(\rho_2,\varphi_2)</math> , 0(0,0) в полярній системі координат.
 +
 
 +
Нехай <math>\rho_1>\rho_1</math>  , <math>|{P_1P_2}|=d</math> , <math>0\leq|\varphi|<\frac{\pi}{2}</math>
 +
 
 +
В таких позначеннях виконується співвідношення:
 +
 
 +
<math>{d^2}={\rho_1}^2+{\rho_2}^2-2{\rho_1}{\rho_2}cos(\varphi_1-\varphi_2)</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<math>e^{(2i\varphi)}=\frac{\rho_1-\rho_2e^{-i(\varphi_1-\varphi_2)}}{\rho_1-\rho_2e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}}</math>
 +
 
 +
 
 +
Для будь-якої циліндричної функції <math>{Z_m(z)}</math> справедлива '''''теорема додавання:'''''
 +
 
 +
 
 +
<math>{Z_m({\alpha}{d})}e^{{i}{m}{\varphi}}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{Z_{m+k}}({\alpha}{\rho_1}){J_k}({\alpha}{\rho_2})e^{ik(\varphi_1-\varphi_2)}</math>  , де <math>{\alpha}=const</math>
 +
 
 +
 
 +
Значення циліндричної функції в будь-якій точці можна записати у вигляді ряду по функціям Бесселя, якщо відомі параметри у одній фіксованій точці <math>{P_1}</math>
 +
 
 +
 
 +
'''Частковий випадок:'''
 +
 
 +
<math>\varphi_1-\varphi_2={\pi}</math>
 +
 
 +
 
 +
<math>{Z_m({\alpha}(\rho_1+\rho_2))}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{Z_k({\alpha}{\rho_1})}{J_{m-k}({\alpha}{\rho_2})}</math>
 +
 
 +
Виконала: [[Користувач:Заворуєва Олена Сергіївна|Заворуєва Олена Сергіївна ]]
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
[[category: Вибрані статті з математичного аналізу]]

Поточна версія на 16:57, 20 травня 2010

Теорема додавання.jpg


Нехай задані точки: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P_1(\rho_1,\varphi_1)

, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P_2(\rho_2,\varphi_2)
, 0(0,0) в полярній системі координат.

Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \rho_1>\rho_1

 , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): |{P_1P_2}|=d
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leq|\varphi|<\frac{\pi}{2}


В таких позначеннях виконується співвідношення:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {d^2}={\rho_1}^2+{\rho_2}^2-2{\rho_1}{\rho_2}cos(\varphi_1-\varphi_2)



Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): e^{(2i\varphi)}=\frac{\rho_1-\rho_2e^{-i(\varphi_1-\varphi_2)}}{\rho_1-\rho_2e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}}


Для будь-якої циліндричної функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {Z_m(z)}

справедлива теорема додавання:


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {Z_m({\alpha}{d})}e^{{i}{m}{\varphi}}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{Z_{m+k}}({\alpha}{\rho_1}){J_k}({\alpha}{\rho_2})e^{ik(\varphi_1-\varphi_2)}

  , де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\alpha}=const


Значення циліндричної функції в будь-якій точці можна записати у вигляді ряду по функціям Бесселя, якщо відомі параметри у одній фіксованій точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {P_1}


Частковий випадок:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \varphi_1-\varphi_2={\pi}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {Z_m({\alpha}(\rho_1+\rho_2))}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{Z_k({\alpha}{\rho_1})}{J_{m-k}({\alpha}{\rho_2})}


Виконала: Заворуєва Олена Сергіївна