Відмінності між версіями «Теореми додавання для циліндричних функцій.»
| (не показані 3 проміжні версії цього учасника) | |||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
| − | [[Файл:Теорема додавання.jpg|right| | + | [[Файл:Теорема додавання.jpg|right|500px|thumb]] |
| − | Нехай задані точки: <math>P_1(\rho_1,\varphi_1)</math> , <math>P_2(\rho_2,\varphi_2)</math> , | + | Нехай задані точки: <math>P_1(\rho_1,\varphi_1)</math> , <math>P_2(\rho_2,\varphi_2)</math> , 0(0,0) в полярній системі координат. |
| + | |||
| + | Нехай <math>\rho_1>\rho_1</math> , <math>|{P_1P_2}|=d</math> , <math>0\leq|\varphi|<\frac{\pi}{2}</math> | ||
| + | |||
| + | В таких позначеннях виконується співвідношення: | ||
| + | |||
| + | <math>{d^2}={\rho_1}^2+{\rho_2}^2-2{\rho_1}{\rho_2}cos(\varphi_1-\varphi_2)</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <math>e^{(2i\varphi)}=\frac{\rho_1-\rho_2e^{-i(\varphi_1-\varphi_2)}}{\rho_1-\rho_2e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Для будь-якої циліндричної функції <math>{Z_m(z)}</math> справедлива '''''теорема додавання:''''' | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <math>{Z_m({\alpha}{d})}e^{{i}{m}{\varphi}}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{Z_{m+k}}({\alpha}{\rho_1}){J_k}({\alpha}{\rho_2})e^{ik(\varphi_1-\varphi_2)}</math> , де <math>{\alpha}=const</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Значення циліндричної функції в будь-якій точці можна записати у вигляді ряду по функціям Бесселя, якщо відомі параметри у одній фіксованій точці <math>{P_1}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | '''Частковий випадок:''' | ||
| + | |||
| + | <math>\varphi_1-\varphi_2={\pi}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <math>{Z_m({\alpha}(\rho_1+\rho_2))}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{Z_k({\alpha}{\rho_1})}{J_{m-k}({\alpha}{\rho_2})}</math> | ||
| + | |||
| + | Виконала: [[Користувач:Заворуєва Олена Сергіївна|Заворуєва Олена Сергіївна ]] | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | [[category: Вибрані статті з математичного аналізу]] | ||
Поточна версія на 16:57, 20 травня 2010
Нехай задані точки: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P_1(\rho_1,\varphi_1)
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P_2(\rho_2,\varphi_2) , 0(0,0) в полярній системі координат.
Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \rho_1>\rho_1
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): |{P_1P_2}|=d
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leq|\varphi|<\frac{\pi}{2}
В таких позначеннях виконується співвідношення:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {d^2}={\rho_1}^2+{\rho_2}^2-2{\rho_1}{\rho_2}cos(\varphi_1-\varphi_2)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): e^{(2i\varphi)}=\frac{\rho_1-\rho_2e^{-i(\varphi_1-\varphi_2)}}{\rho_1-\rho_2e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}}
Для будь-якої циліндричної функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {Z_m(z)}
справедлива теорема додавання:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {Z_m({\alpha}{d})}e^{{i}{m}{\varphi}}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{Z_{m+k}}({\alpha}{\rho_1}){J_k}({\alpha}{\rho_2})e^{ik(\varphi_1-\varphi_2)}
, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\alpha}=const
Значення циліндричної функції в будь-якій точці можна записати у вигляді ряду по функціям Бесселя, якщо відомі параметри у одній фіксованій точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {P_1}
Частковий випадок:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \varphi_1-\varphi_2={\pi}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {Z_m({\alpha}(\rho_1+\rho_2))}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{Z_k({\alpha}{\rho_1})}{J_{m-k}({\alpha}{\rho_2})}
Виконала: Заворуєва Олена Сергіївна
