Відмінності між версіями «Косинус та синус перетворення Фур'є»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
 
(не показані 148 проміжних версій 2 учасників)
Рядок 1: Рядок 1:
−
'''<font color='blue' size=3>Косинус і синус інтеграли Фур'є</font>''',породжені дійсною функцією f(t),абсолютна величина якої <math>{\left| \f(t)\right|}</math>інтегрує по інтервалу <math>{0<t<+\infty}</math>,визначається відповідно так:
+
:Розглянемо часткові випадки:
 +
:'''1'''.Нехай функція <math>f(x)</math>- парна ,<math>f(t)cos (\alpha\ t)</math>- парна , тоді : <math>{A(\alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt</math>
 +
:<math>f(t)sin(\alpha\ t)</math>- непарна , тоді :<math>{B(\alpha)}=0;f(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}</math>;
 +
: Якщо функція f(x)- довільна , визначена на проміжку <math>(0;\infty)</math>, то парне продовження цієї функції <math>{f_{2}(x) = \begin{cases}
 +
f(x), x\geqslant{0} \\
 +
f(-x),x<0 \\
 +
\end{cases}}</math>
 +
 
 +
:розвинення парного продовження:
 +
:<math>f_2(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}</math>
 +
:Для будь-якого <math>x>=0</math>;<math>f(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}</math>(*)
 +
:'''2'''.Нехай <math>f(x)</math>- непарна, тоді <math>f(t)cos (\alpha\ t)</math>- непарна,<math>f(t)sin (\alpha\ t)</math>- парна;<math>{A(\alpha)}=0</math>
 +
:<math>{B(\alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt</math>
 +
:<math>f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}</math>
 +
Якщо функція <math>f(x)</math>- довільна, визначена на проміжку <math>(0;\infty)</math>, тоді непарне продовження буде:
 +
:<math>f_{1}(x) = \begin{cases}
 +
f(x), & x > 0 \\
 +
0, & x = 0 \\
 +
f(-x), & x < 0\\
 +
\end{cases}</math>
 +
:розвинення непарного продовження:
 +
:<math>f_1(x)=\int_0^\infty {B(\alpha)}sin (\alpha\ x){d(\alpha)}</math>
 +
:Для будь-якого<math>x>=0</math>
 +
:<math>f(x)=\int_0^\infty {B(\alpha)}sin (\alpha\ x){d(\alpha)}</math>(**)
 +
:Розглянемо формулу (*),тоді отримаємо:
 +
:<math>f(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^\infty (\frac{2}{\pi}\int_0^\infty f(t)cos{t\alpha}dt)cos{x\alpha}dx</math>;
 +
:<math>{F(\alpha)}={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt</math> називається '''<font color='green' size=3> Косинус-перетворенням </font>'''функції<math>f(x)</math>, а функція <math>{\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty {F(\alpha)}sin(\alpha\ x){d(\alpha)}</math> називається '''<font color='red' size=3> Оберненим косинус-перетворенням </font>'''для <math>f(x)</math>
 +
:Аналогічно вводится пряме та обернене синус-перетворення <math>f(x)</math>
 +
:<math>{\Phi(\alpha)}={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt</math>- пряме сінус-перетворення функції<math>f(x)</math>
 +
 
 +
:<math>f(x)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty {\phi(\alpha)}sin(\alpha\ x){d(\alpha)}</math>- обернене сінус перетворення функції <math>f(x)</math>
 +
 
 +
 
 +
:'''''Зауваження''''':
 +
:В деякій літературі пряме синус та косинус-перетворення вводиться з <math>(\frac{2}{\pi})</math>, а оберене з 1.
 +
:Функція <math>f(x)</math> називають її'''<font color='orange' size=3> Оригіналом </font>''', а функції <math>{\Phi(\alpha)}</math> та <math>{F(\alpha)}</math> називають '''<font color='orange' size=3> Образом </font>'''функції<math>f(x)</math> у просторі відповідного перетворення.
 +
 
 +
:'''''Додаткова інформація'''''
 +
: При кутовій зміні частоті, змінюється і циклічна частота при цьому косинус-перетвореняя представляє наступні дві формули:
 +
 
 +
:<math>g_c(w)=2\int_0^\infty f(t)cos({2\pi}ft)dt</math>
 +
 
 +
:<math>f(t)=(\frac{1}{\pi})\int_0^\infty g_c(f)cos({2\pi}ft)df</math>
 +
 
 +
: Якщо наша функція <math>f(x)</math> визначена на інтервалі <math>(-L/2,L/2)</math>, то модель Фур'є буде:
 +
:<math>f(x)=a_0/(2)+\sum^{\infin}_{k=1}(a_k cos({2\pi}kx)/L)+b_k sin({2\pi}kx)/L)</math>
 +
 
 +
:Так як визначено у формулі основна частота цієї <math>\Delta f=1/L</math> і всіх вищих гармонік частоти <math>f_k</math> є цілими кратними основної частоти. Тобто,<math>f_k=k/L=k\Delta f</math>.
 +
 
 +
:Зараз ми стикаємось з перспективою даючи <math>(L \to 0)</math>з якого слідує, що <math>\Delta f\to 0</math> і, отже, поняття гармонійної частоти перестане бути корисним.
 +
 
 +
:Для того, щоб врятувати ситуацію, ми повинні відокремлювати поняття фізичної частоти і номер гармоніки. Щоб зробити це, ми першим позначемо зміни, з тим, що ми можемо лікувати коефіцієнти Фур'є в залежності від частоти змінного <math>F_k</math> , яка приймає дискретні значення, кратні ΔF.                Таким чином попереднє рівняння буде мати вигляд:
 +
:<math>f(x)=a_0/(2)+\sum^{\infin}_{k=1}(a(f_k)cos({2\pi}x f_k)+b(f_k)sin({2\pi}x f_k)</math>
 +
:Також є такі формули косинус та синус перетворення Фур'є
 +
:'''<font color='green' size=3> Косинус-перетворення Фур'є </font>'''
 +
:<math>F_c(\varphi)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)e^{-i\varphi t}dt</math>
 +
:'''<font color='green' size=3> Синус-перетворення Фур'є </font>'''
 +
:<math>F_s(\varphi)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)sin(\varphi)dt </math>
 +
 
 +
 
 +
Виконала: [[Користувач:Левченко Марина Олександрівна|Левченко Марина Олександрівна]]
 +
 
 +
 
 +
[[category: Вибрані статті з математичного аналізу]]

Поточна версія на 19:55, 20 травня 2010

Розглянемо часткові випадки:
1.Нехай функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

- парна ,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) - парна , тоді : Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(\alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin(\alpha\ t)

- непарна , тоді :Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(\alpha)}=0;f(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}

Якщо функція f(x)- довільна , визначена на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (0;\infty)

, то парне продовження цієї функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f_{2}(x) = \begin{cases} f(x), x\geqslant{0} \\ f(-x),x<0 \\ \end{cases}}


розвинення парного продовження:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_2(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}
Для будь-якого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}

(*)

2.Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

- непарна, тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) - непарна,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin (\alpha\ t) - парна;Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(\alpha)}=0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(\alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}

Якщо функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) - довільна, визначена на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (0;\infty) , тоді непарне продовження буде:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{1}(x) = \begin{cases} f(x), & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ f(-x), & x < 0\\ \end{cases}
розвинення непарного продовження:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_1(x)=\int_0^\infty {B(\alpha)}sin (\alpha\ x){d(\alpha)}
Для будь-якогоНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(\alpha)}sin (\alpha\ x){d(\alpha)}

(**)

Розглянемо формулу (*),тоді отримаємо:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^\infty (\frac{2}{\pi}\int_0^\infty f(t)cos{t\alpha}dt)cos{x\alpha}dx
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {F(\alpha)}={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt 
називається  Косинус-перетворенням функціїНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

, а функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty {F(\alpha)}sin(\alpha\ x){d(\alpha)} 

називається  Оберненим косинус-перетворенням для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
Аналогічно вводится пряме та обернене синус-перетворення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\Phi(\alpha)}={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt

- пряме сінус-перетворення функціїНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty {\phi(\alpha)}sin(\alpha\ x){d(\alpha)}

- обернене сінус перетворення функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)


Зауваження:
В деякій літературі пряме синус та косинус-перетворення вводиться з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (\frac{2}{\pi})

, а оберене з 1.

Функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) 
називають її Оригіналом , а функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\Phi(\alpha)}
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {F(\alpha)}
називають  Образом функціїНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
у просторі відповідного перетворення.
Додаткова інформація
При кутовій зміні частоті, змінюється і циклічна частота при цьому косинус-перетвореняя представляє наступні дві формули:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g_c(w)=2\int_0^\infty f(t)cos({2\pi}ft)dt


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)=(\frac{1}{\pi})\int_0^\infty g_c(f)cos({2\pi}ft)df


Якщо наша функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) 
визначена на інтервалі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (-L/2,L/2)

, то модель Фур'є буде:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=a_0/(2)+\sum^{\infin}_{k=1}(a_k cos({2\pi}kx)/L)+b_k sin({2\pi}kx)/L)


Так як визначено у формулі основна частота цієї Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f=1/L 
і всіх вищих гармонік частоти Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_k
є цілими кратними основної частоти. Тобто,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_k=k/L=k\Delta f

.

Зараз ми стикаємось з перспективою даючи Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (L \to 0)

з якого слідує, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f\to 0 

і, отже, поняття гармонійної частоти перестане бути корисним.
Для того, щоб врятувати ситуацію, ми повинні відокремлювати поняття фізичної частоти і номер гармоніки. Щоб зробити це, ми першим позначемо зміни, з тим, що ми можемо лікувати коефіцієнти Фур'є в залежності від частоти змінного Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_k 
, яка приймає дискретні значення, кратні ΔF.                 Таким чином попереднє рівняння буде мати вигляд:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=a_0/(2)+\sum^{\infin}_{k=1}(a(f_k)cos({2\pi}x f_k)+b(f_k)sin({2\pi}x f_k)
Також є такі формули косинус та синус перетворення Фур'є
Косинус-перетворення Фур'є
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_c(\varphi)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)e^{-i\varphi t}dt
Синус-перетворення Фур'є
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_s(\varphi)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)sin(\varphi)dt


Виконала: Левченко Марина Олександрівна

Отримано з https://wiki.cusu.edu.ua/index.php?title=Косинус_та_синус_перетворення_Фур%27є&oldid=29170