Відмінності між версіями «Розв’язок рівняння Лапласа у циліндричних координатах. Рівняння Беселя»
Матеріал з Вікі ЦДУ
(→Інші форми рівняння Лапласа) |
|||
| (не показано 17 проміжних версій цього учасника) | |||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
| − | '''Рівняння Лапласа''' - однорідне лінійне рівняння в | + | ==Рівняння Лапласа== |
| + | |||
| + | '''Рівняння Лапласа''' - однорідне лінійне рівняння в частинних похідних другого порядку еліптичного типу. | ||
:<math> \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 </math>. | :<math> \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 </math>. | ||
| Рядок 9: | Рядок 11: | ||
Відповідне неоднорідне рівняння називається [http://uk.wikipedia.org/wiki/Рівняння_Пуассона рівнянням Пуассона]. | Відповідне неоднорідне рівняння називається [http://uk.wikipedia.org/wiki/Рівняння_Пуассона рівнянням Пуассона]. | ||
| − | '''Рівняння | + | '''Рівняння Лапласа''' - рівняння в частинних похідних. У тривимірному просторі рівняння Лапласа записується так: |
: <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0</math> | : <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0</math> | ||
і є частковим випадком рівняння Гельмгольца. | і є частковим випадком рівняння Гельмгольца. | ||
| Рядок 16: | Рядок 18: | ||
: <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0</math> | : <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0</math> | ||
| − | Також і в''n''-вимірному просторі. У цьому випадку до нуля прирівнюється сума''n''других похідних. | + | Також і в''n''-вимірному просторі. У цьому випадку до нуля прирівнюється сума ''n'' других похідних. |
За допомогою диференціального оператора | За допомогою диференціального оператора | ||
: <math>\triangle = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + ...</math> | : <math>\triangle = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + ...</math> | ||
- [http://ru.wikipedia.org/wiki/Оператор_Лапласа оператора Лапласа] - це рівняння записується (для будь-якої розмірності) однаково як <math>\triangle u = 0</math> | - [http://ru.wikipedia.org/wiki/Оператор_Лапласа оператора Лапласа] - це рівняння записується (для будь-якої розмірності) однаково як <math>\triangle u = 0</math> | ||
| + | ===Інші форми рівняння Лапласа=== | ||
| + | В сферичних координатах <math>\ (r,\theta,\varphi)</math> рівняння має вигляд | ||
| + | |||
| + | : <math>{1 \over r^2} {\partial \over \partial r} | ||
| + | \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) | ||
| + | + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} | ||
| + | \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) | ||
| + | + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0</math> | ||
| + | |||
| + | В полярних координатах r, φ рівняння має вигляд | ||
| + | : <math>\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial \phi ^2} = 0</math> | ||
| + | |||
| + | ==Оператор Лапласа== | ||
'''Оператор Лапласа''' - диференціальний оператор, який діє в лінійному просторі гладких функцій, який позначають символом <math>\ \Delta</math>. Функції <math>F\ </math> він ставить у відповідність функцію <math>\left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F</math>. | '''Оператор Лапласа''' - диференціальний оператор, який діє в лінійному просторі гладких функцій, який позначають символом <math>\ \Delta</math>. Функції <math>F\ </math> він ставить у відповідність функцію <math>\left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F</math>. | ||
| − | Оператор Лапласа еквівалентний послідовному взяття операцій | + | Оператор Лапласа еквівалентний послідовному взяття операцій градієнта і дивергенції: <math>\Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}</math>, таким чином значення оператора Лапласа у точці може бути витлумачено як щільність джерел (стоків) потенційного векторного поля <math>\ \operatorname{grad}F</math> в цій точці. У декартовій системі координат оператор Лапласа часто позначається наступним чином <math>\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2</math>, тобто у вигляді скалярного добутку оператора Набла на себе. |
| + | |||
| + | == Вирази для оператора Лапласа у різних криволінійних системах координат == | ||
| + | У довільних ортогональних криволінійних координатах в тривимірному просторі | ||
| + | <math>q_1,\ q_2,\ q_3</math>: | ||
| + | : <math>\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) = </math> | ||
| + | : <math>=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],</math> | ||
| + | : де <math>H_i\ </math> — коефіцієнти Ляме. | ||
| + | |||
| + | === Циліндричні координати === | ||
| + | У циліндричних координатах поза прямою <math>\ r=0</math>: | ||
| + | : <math> \Delta f | ||
| + | = {1 \over r} {\partial \over \partial r} | ||
| + | \left( r {\partial f \over \partial r} \right) | ||
| + | + {\partial^2f \over \partial z^2} | ||
| + | + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | === Сферичні координати === | ||
| + | У сферичних координатах поза початком відліку (у тривимірному просторі): | ||
| + | : <math> \Delta f | ||
| + | = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} | ||
| + | \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) | ||
| + | + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} | ||
| + | \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) | ||
| + | + {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | або | ||
| + | |||
| + | : <math> \Delta f | ||
| + | = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} | ||
| + | \left( rf \right) | ||
| + | + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} | ||
| + | \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) | ||
| + | + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}. | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | В випадку якщо <math>\ f=f(r)</math> в n-вимірному простррі: | ||
| + | |||
| + | : <math> \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.</math> | ||
| + | |||
| + | === Параболічні координати === | ||
| + | |||
| + | В параболічних координатах (у тривимірному просторі) поза початком відліку: | ||
| + | : <math> | ||
| + | \Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} | ||
| + | \left[ | ||
| + | \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} | ||
| + | \left( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + | ||
| + | \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} | ||
| + | \left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] + | ||
| + | \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} | ||
| + | </math> | ||
| + | === Цилиндричні параболічні координати === | ||
| + | В координатах параболічного циліндра поза початком відліку: | ||
| + | : <math>\Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}</math> | ||
| + | == Рівняння Беселя == | ||
| + | : <math>x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0</math> | ||
| + | ==Корисні посилання== | ||
| + | [http://www.exponenta.ru/educat/systemat/tikhonenko/bound/index.asp#2 Розв'язання рівняння Лапласа в середовищі Maple] | ||
| + | Виконав: [[Користувач:Користувач Чуйков Артем Сергійович|Чуйков Артем]] | ||
[[category: Вибрані статті з математичного аналізу]] | [[category: Вибрані статті з математичного аналізу]] | ||
Поточна версія на 17:45, 20 травня 2010
Зміст
Рівняння Лапласа
Рівняння Лапласа - однорідне лінійне рівняння в частинних похідних другого порядку еліптичного типу.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0
.
Рівняння Лапласа описує електростатичне поле в просторі без електричних зарядів. Рівнянням Лапласа описується стаціонарний розподіл температури у просторовому тілі.
Функції, які задовільняють рівнянню Лапласа, називаються гармонічними.
Відповідне неоднорідне рівняння називається рівнянням Пуассона.
Рівняння Лапласа - рівняння в частинних похідних. У тривимірному просторі рівняння Лапласа записується так:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0
і є частковим випадком рівняння Гельмгольца.
У двовимірному просторі рівняння Лапласа записується:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0
Також і вn-вимірному просторі. У цьому випадку до нуля прирівнюється сума n других похідних.
За допомогою диференціального оператора
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \triangle = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + ...
- оператора Лапласа - це рівняння записується (для будь-якої розмірності) однаково як Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \triangle u = 0
Інші форми рівняння Лапласа
В сферичних координатах Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ (r,\theta,\varphi)
рівняння має вигляд
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0
В полярних координатах r, φ рівняння має вигляд
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial \phi ^2} = 0
Оператор Лапласа
Оператор Лапласа - диференціальний оператор, який діє в лінійному просторі гладких функцій, який позначають символом Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \Delta . Функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F\
він ставить у відповідність функцію Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F
.
Оператор Лапласа еквівалентний послідовному взяття операцій градієнта і дивергенції: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad} , таким чином значення оператора Лапласа у точці може бути витлумачено як щільність джерел (стоків) потенційного векторного поля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \operatorname{grad}F
в цій точці. У декартовій системі координат оператор Лапласа часто позначається наступним чином Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2
, тобто у вигляді скалярного добутку оператора Набла на себе.
Вирази для оператора Лапласа у різних криволінійних системах координат
У довільних ортогональних криволінійних координатах в тривимірному просторі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): q_1,\ q_2,\ q_3
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],
- де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_i\
— коефіцієнти Ляме.
Циліндричні координати
У циліндричних координатах поза прямою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ r=0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
Сферичні координати
У сферичних координатах поза початком відліку (у тривимірному просторі):
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
або
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.
В випадку якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ f=f(r)
в n-вимірному простррі:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.
Параболічні координати
В параболічних координатах (у тривимірному просторі) поза початком відліку:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}
Цилиндричні параболічні координати
В координатах параболічного циліндра поза початком відліку:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}
Рівняння Беселя
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0
Корисні посилання
Розв'язання рівняння Лапласа в середовищі Maple
Виконав: Чуйков Артем
