Відмінності між версіями «Дивергенція,ротор і градієнт»
Матеріал з Вікі ЦДУ
| (не показані 2 проміжні версії цього учасника) | |||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
| − | '''Дивергенція''' — скалярне поле, яке характеризує густину джерел даного векторного поля. Дивергенція показує продукується чи поглинається векторне поле в даній точці та визначає інтенсивність цих процесів. Так, наприклад, додатна дивергенція поля швидкостей сталого руху нестискуваної рідини характеризує інтенсивність джерел в даній точці, а від'ємна — інтенсивність стоків. | + | == <font color='red' size=5>'''''Дивергенція''''' </font> == |
| + | |||
| + | |||
| + | *'''Дивергенція''' — скалярне поле, яке характеризує густину джерел даного векторного поля. Дивергенція показує продукується чи поглинається векторне поле в даній точці та визначає інтенсивність цих процесів. Так, наприклад, додатна дивергенція поля швидкостей сталого руху нестискуваної рідини характеризує інтенсивність джерел в даній точці, а від'ємна — інтенсивність стоків. | ||
Якщо дивергенція поля дорівнює нулю, то джерел та стоків у цього поля не має. Таке поле називають соленоїдальним. | Якщо дивергенція поля дорівнює нулю, то джерел та стоків у цього поля не має. Таке поле називають соленоїдальним. | ||
| − | == Визначення == | + | === Визначення === |
Дивергенцією <math>\operatorname{div}\mathbf{F}</math> векторного поля <math>\mathbf{F}</math> в точці називається границя відношення потоку векторного поля через замкнену поверхню <math>S</math>, що охоплює цю точку, до об'єму, обмеженому цією поверхнею, при прямуванні об'єму до нуля: | Дивергенцією <math>\operatorname{div}\mathbf{F}</math> векторного поля <math>\mathbf{F}</math> в точці називається границя відношення потоку векторного поля через замкнену поверхню <math>S</math>, що охоплює цю точку, до об'єму, обмеженому цією поверхнею, при прямуванні об'єму до нуля: | ||
| Рядок 14: | Рядок 17: | ||
де <math>\nabla=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z}</math> - оператор набла. | де <math>\nabla=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z}</math> - оператор набла. | ||
| − | == Властивості дивергенції == | + | === Властивості дивергенції === |
Загальні властивості дивергенції випливають з властивостей частинних похідних. | Загальні властивості дивергенції випливають з властивостей частинних похідних. | ||
| − | + | Дивергенція є лінійним оператором. | |
| + | Тобто для будь-яких векторних полей <math>\mathbf{F}</math>, <math>\mathbf{G}</math> та будь-яких чисел <math>a</math>, <math>b</math> справедливий наступний вираз: | ||
:<math>\operatorname{div}(a\mathbf{F}+b\mathbf{G})=a\,\operatorname{div}(\mathbf{F}) + b\,\operatorname{div}(\mathbf{G}).</math> | :<math>\operatorname{div}(a\mathbf{F}+b\mathbf{G})=a\,\operatorname{div}(\mathbf{F}) + b\,\operatorname{div}(\mathbf{G}).</math> | ||
| Рядок 37: | Рядок 41: | ||
:<math>\operatorname{div}(\operatorname{rot}(\mathbf{F}))=0.</math> | :<math>\operatorname{div}(\operatorname{rot}(\mathbf{F}))=0.</math> | ||
| − | '''Ротор''' дво- чи тривимірного векторного поля в математиці — вектор, координати якого визначаються визначником третього порядку, перший рядок якого – орти координатних осей, друга – оператори частинного диференціювання в такому ж порядку, як і орти осей, третя – координати функції, яка визначає векторне поле. | + | |
| + | == <font color='red' size=5>'''''Ротор''''' </font> == | ||
| + | |||
| + | |||
| + | *'''Ротор''' дво- чи тривимірного векторного поля в математиці — вектор, координати якого визначаються визначником третього порядку, перший рядок якого – орти координатних осей, друга – оператори частинного диференціювання в такому ж порядку, як і орти осей, третя – координати функції, яка визначає векторне поле. | ||
:<math> \text{rot} \; \mathbf{A} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ | :<math> \text{rot} \; \mathbf{A} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ | ||
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ | \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ | ||
| Рядок 52: | Рядок 60: | ||
| + | == <font color='red' size=5>'''''Градієнт''''' </font> == | ||
| + | |||
| + | |||
| + | *'''Градієнт''' – міра зростання або спадання в просторі якоїсь фізичної величини на одиницю довжини. | ||
| + | |||
| + | Для позначення градієнта використовується оператор Гамільтона <math> \nabla </math>. | ||
| + | |||
| + | === Математичне формулювання === | ||
| + | |||
| + | *'''Градієнт''' — векторна величина, яка визначає в кожній точці простору не лише швидкість зміни, а й напрямок найшвидшої зміни функції, що залежить від координат. | ||
| + | |||
| + | Для скалярного поля <math> U(x,u,z) \, </math> градієнт визначається формулою | ||
| + | :<math> \nabla U = \frac{\partial U}{\partial x} \mathbf{i} + | ||
| + | \frac{\partial U}{\partial y} \mathbf{j} + | ||
| + | \frac{\partial U}{\partial z} \mathbf{k} | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | де <math> \mathbf{i} </math>, <math> \mathbf{j} </math>, <math> \mathbf{k} </math> - орт и системи відліку. | ||
| + | |||
| + | Це означення узагальнюється на простори будь-якої розмірності | ||
| + | :<math> \nabla U = \sum_i \frac{\partial U}{\partial x_i} \mathbf{e}_i </math>. | ||
| + | |||
| + | === Приклади === | ||
| + | ==== Градієнт скалярного поля ==== | ||
| + | |||
| + | Градієнт скалярного поля – вектор, проекціями якого на координатні осі є частинні похідні функції, яка описує дане поле. Практичне тлумачення полягає в тому, що він визначає напрям, у якому задане скалярне поле змінюється найшвидше. | ||
| + | |||
| + | ==== Градієнт тиску ==== | ||
| + | |||
| + | Градієнт тиску – втрата тиску на одиниці довжини шляху руху рідини (газу). | ||
| − | == | + | ==== Градієнт метановості вугільних шахт ==== |
| − | + | Градієнт метановості вугільних шахт – приріст середньої відносної газовості вугільних шахт при зануренні гірничих робіт в зону метанових газів. Здебільшого вимірюється в м<sup>3</sup>/т при заглибленні на 1 або 100 м. | |
Поточна версія на 00:06, 12 травня 2010
Зміст
Дивергенція
- Дивергенція — скалярне поле, яке характеризує густину джерел даного векторного поля. Дивергенція показує продукується чи поглинається векторне поле в даній точці та визначає інтенсивність цих процесів. Так, наприклад, додатна дивергенція поля швидкостей сталого руху нестискуваної рідини характеризує інтенсивність джерел в даній точці, а від'ємна — інтенсивність стоків.
Якщо дивергенція поля дорівнює нулю, то джерел та стоків у цього поля не має. Таке поле називають соленоїдальним.
Визначення
Дивергенцією Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}\mathbf{F}
векторного поля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{F}
в точці називається границя відношення потоку векторного поля через замкнену поверхню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S
, що охоплює цю точку, до об'єму, обмеженому цією поверхнею, при прямуванні об'єму до нуля:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}\mathbf{F}=\lim_{V \to 0}\frac{\oint_{S}\mathbf{Fn}\,dS}{V}.
В декартових координатах, використовуючи формулу Остроградського, дивергенцію поля можна записати в наступному вигляді:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}=\nabla\mathbf{F},
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z}
- оператор набла.
Властивості дивергенції
Загальні властивості дивергенції випливають з властивостей частинних похідних. Дивергенція є лінійним оператором. Тобто для будь-яких векторних полей Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{F} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{G}
та будь-яких чисел Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b
справедливий наступний вираз:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(a\mathbf{F}+b\mathbf{G})=a\,\operatorname{div}(\mathbf{F}) + b\,\operatorname{div}(\mathbf{G}).
- Справедливий наступний вираз для дивергенції добутку скалярного поля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \varphi
на векторне Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{F}
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(\varphi\mathbf{F})=\operatorname{grad}(\varphi)\cdot\mathbf{F} + \varphi\,\operatorname{div}(\mathbf{F})
- Дивергенція поля, яке дорівнює векторному добутку двох полей, можна виразити через ротори кожного поля:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G})=\operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot\operatorname{rot}(\mathbf{G}).
- Дивергенція від градієнта скалярного поля дорівнює лапласіану від цього поля:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(\operatorname{grad}(\varphi))=\mathcal{4}\varphi.
- Дивергенція ротора тотожньо дорівнює нулю:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(\operatorname{rot}(\mathbf{F}))=0.
Ротор
- Ротор дво- чи тривимірного векторного поля в математиці — вектор, координати якого визначаються визначником третього порядку, перший рядок якого – орти координатних осей, друга – оператори частинного диференціювання в такому ж порядку, як і орти осей, третя – координати функції, яка визначає векторне поле.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \text{rot} \; \mathbf{A} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{matrix} \right| = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) \mathbf{k}
З практичної точки зору ротор векторного поля характеризує обертальну здатність поля в даній точці: вона найбільша в даній точці саме в площині, перпендикулярній ротору.
Поле, для якого ротор в кожній точці є нульовим вектором, називають потенційним.
Градієнт
- Градієнт – міра зростання або спадання в просторі якоїсь фізичної величини на одиницю довжини.
Для позначення градієнта використовується оператор Гамільтона Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla .
Математичне формулювання
- Градієнт — векторна величина, яка визначає в кожній точці простору не лише швидкість зміни, а й напрямок найшвидшої зміни функції, що залежить від координат.
Для скалярного поля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U(x,u,z) \,
градієнт визначається формулою
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla U = \frac{\partial U}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial U}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial U}{\partial z} \mathbf{k}
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{i}
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{j}
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{k}
- орт и системи відліку.
Це означення узагальнюється на простори будь-якої розмірності
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla U = \sum_i \frac{\partial U}{\partial x_i} \mathbf{e}_i
.
Приклади
Градієнт скалярного поля
Градієнт скалярного поля – вектор, проекціями якого на координатні осі є частинні похідні функції, яка описує дане поле. Практичне тлумачення полягає в тому, що він визначає напрям, у якому задане скалярне поле змінюється найшвидше.
Градієнт тиску
Градієнт тиску – втрата тиску на одиниці довжини шляху руху рідини (газу).
Градієнт метановості вугільних шахт
Градієнт метановості вугільних шахт – приріст середньої відносної газовості вугільних шахт при зануренні гірничих робіт в зону метанових газів. Здебільшого вимірюється в м3/т при заглибленні на 1 або 100 м.
