Відмінності між версіями «Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами;»
Lilit (обговорення • внесок) (→Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами) |
Lilit (обговорення • внесок) |
||
| (не показано 6 проміжних версій цього учасника) | |||
| Рядок 6: | Рядок 6: | ||
Діленням на <math>e^{zx}</math> многочлен n-го порядку | Діленням на <math>e^{zx}</math> многочлен n-го порядку | ||
<p align=center><math> F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0.\,</math></p> | <p align=center><math> F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0.\,</math></p> | ||
| − | Це алгебраїчне рівняння <math>F(t)=0</math>, характеристичне рівняння, було розглянуто пізніше ''Ґаспаром Монжем'' і | + | Це алгебраїчне рівняння <math>F(t)=0</math>, характеристичне рівняння, було розглянуто пізніше ''Ґаспаром Монжем'' і ''Оґюстеном-Луї Коші''. |
Формально, члени | Формально, члени | ||
<p align=center><math> y^{(k)}\quad\quad(k = 1, 2, \dots, n).</math></p> | <p align=center><math> y^{(k)}\quad\quad(k = 1, 2, \dots, n).</math></p> | ||
| + | вихідних диференціальних рівнянь замінюються на <math>z^k</math>. Розв'язок алгебраїчного рівняння дає n значень <math>z_1, z_2, ...z_n</math>. Підстановка будь-якого з цих значень <math>z</math> в <math>zx</math> дає розв'язок <math>e^{zx}</math>. Оскільки однорідні лінійні диференціальні рівняння підпорядковані принципу суперпозиції, будь-яка лінійна комбінація цих функцій також задовольняє дане диференціальне рівняння. | ||
| + | |||
| + | Коли всі корені різні, ми маємо n різних розв'язків диференціального рівняння. Застосовуючи ''[[визначник Вандермонда]]'', можна показати, що вони лінійно незалежні і разом утворюють базис в просторі всіх розв'язків диференціального рівняння. | ||
| + | |||
| + | Вищесказане дає розв'язок в разі, коли всі корені різні, тобто кожен з них має кратність 1. У загальному випадку, якщо <math>z</math> (можливо, комплексний) нуль (=корінь)<math> Р(x)</math>, що має кратність m, то <math>y=x^ke^{zx}</math>, є розв'язками ЛОР (де <math>k\in\{0,1,\dots,m-1\} \,</math>). Застосування цього до всіх коренів дає набір з n різних і лінійно незалежних функцій, де n-степінь<math> F(x)</math>. Як і раніше, ці функції утворюють базис простору розв'язків. | ||
| + | |||
| + | Якщо коефіцієнти диференціального рівняння дійсні, то перевагу віддаємо дійснозначним розв'язкам. Оскільки комплексні (не дійсні) корені сполучені в пари спряжених, як і відповідні базисні функції, <math>xkezx</math>, то бажаний результат одержимо заміною кожної пари дійсною лінійною комбінацією з <math>Re(y)</math> і <math>Im(y)</math>, де y — одна з функцій пари. | ||
| + | :Випадки, що включають комплексні корені, можуть бути розглянуті за допомогою ''[[формули Ейлера]]''. | ||
| + | |||
| + | '''[[Продивитесь лекцію "Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами"]]''' [https://www.youtube.com/watch?v=9BWfC1Puklw] | ||
| + | |||
| + | == '''Приклади однорідних рівнянянь зі сталими коефіцієнтами''' == | ||
| + | |||
| + | '''1.''' <math>y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0 \,</math> | ||
| + | |||
| + | має характеристичне рівняння | ||
| + | <p align=center><math>z^4-2z^3+2z^2-2z+1=0. \,</math></p> | ||
| + | Його корені <math>i, -i</math>, й 1 (кратності 2). | ||
| + | Базис розв'язків | ||
| + | <p align=center><math> e^{ix} ,\, e^{-ix} ,\, e^x ,\, xe^x \,.</math></p> | ||
| + | Відповідний дійснозначний базис | ||
| + | <p align=center><math> \cos x ,\, \sin x ,\, e^x ,\, xe^x \,.</math></p> | ||
| + | '''2.'''Дано, <math>y''-4y'+5y=0 \,</math>. | ||
| + | :Характеристичне рівняння | ||
| + | <p align=center><math>z^2-4z+5=0 \,</math>,</p> | ||
| + | має корені ''(2 + і)'' і ''(2 - і)''. | ||
| + | |||
| + | Таким чином, базис розв'язків | ||
| + | <p align=center><math>\{y_1,y_2\}</math> </p> | ||
| + | <p align=center><math>\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\} \,</math>.</p> | ||
| + | |||
| + | Тепер '''у''' розв'язком тоді і тільки тоді <math>y=c_1y_1+c_2y_2 \,</math>, для <math>c_1,c_2\in\mathbb C</math>. | ||
| + | |||
| + | Оскільки коефіцієнти дійсні, | ||
| + | *ми, ймовірно, не зацікавлені в комплексних розв'язках; | ||
| + | *наші базисні елементи взаємно спряжені. | ||
| + | |||
| + | Лінійні комбінації | ||
| + | <p align=center> <math>u_1=\mbox{Re}(y_1)=\frac{y_1+y_2}{2}=e^{2x}\cos(x) \,</math></p> | ||
| + | <p align=center><math>u_2=\mbox{Im}(y_1)=\frac{y_1-y_2}{2i}=e^{2x}\sin(x) \,</math></p> | ||
| + | дають нам дійсний базис <math>\{u_1,u_2\}</math>. | ||
| + | |||
| + | '''[[Приклади розв’язання однорідних рівнянянь зі сталими коефіцієнтами]]'''[https://www.youtube.com/watch?v=Pn7jZ8fTr48] | ||
Поточна версія на 00:52, 22 травня 2014
Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами
Історично перший метод розв'язування звичайних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами пов'язаний з іменем Ейлера, який зрозумів, що розв'язки мають вигляд Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): e^{zx} , де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z - (в загальному випадку)-комплексні значення z. Щоб сума кількох похідних функції дорівнювала нулю, похідні повинні врівноважувати одна одну, тож єдиний спосіб досягнути цього - похідні мусять мати ту ж форму, що й вихідна функція. Міркуючи так, для розв'язання
покладемо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y=e^{zx} , що дає
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0.
Діленням на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): e^{zx}
многочлен n-го порядку
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0.\,
Це алгебраїчне рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(t)=0 , характеристичне рівняння, було розглянуто пізніше Ґаспаром Монжем і Оґюстеном-Луї Коші. Формально, члени
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y^{(k)}\quad\quad(k = 1, 2, \dots, n).
вихідних диференціальних рівнянь замінюються на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^k . Розв'язок алгебраїчного рівняння дає n значень Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z_1, z_2, ...z_n . Підстановка будь-якого з цих значень Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z
в Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): zx
дає розв'язок Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): e^{zx}
. Оскільки однорідні лінійні диференціальні рівняння підпорядковані принципу суперпозиції, будь-яка лінійна комбінація цих функцій також задовольняє дане диференціальне рівняння.
Коли всі корені різні, ми маємо n різних розв'язків диференціального рівняння. Застосовуючи визначник Вандермонда, можна показати, що вони лінійно незалежні і разом утворюють базис в просторі всіх розв'язків диференціального рівняння.
Вищесказане дає розв'язок в разі, коли всі корені різні, тобто кожен з них має кратність 1. У загальному випадку, якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z
(можливо, комплексний) нуль (=корінь)Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Р(x)
, що має кратність m, то Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y=x^ke^{zx} , є розв'язками ЛОР (де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k\in\{0,1,\dots,m-1\} \, ). Застосування цього до всіх коренів дає набір з n різних і лінійно незалежних функцій, де n-степіньНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(x) . Як і раніше, ці функції утворюють базис простору розв'язків.
Якщо коефіцієнти диференціального рівняння дійсні, то перевагу віддаємо дійснозначним розв'язкам. Оскільки комплексні (не дійсні) корені сполучені в пари спряжених, як і відповідні базисні функції, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): xkezx , то бажаний результат одержимо заміною кожної пари дійсною лінійною комбінацією з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Re(y)
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Im(y)
, де y — одна з функцій пари.
- Випадки, що включають комплексні корені, можуть бути розглянуті за допомогою формули Ейлера.
Продивитесь лекцію "Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами" [1]
Приклади однорідних рівнянянь зі сталими коефіцієнтами
1. Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0 \,
має характеристичне рівняння
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^4-2z^3+2z^2-2z+1=0. \,
Його корені Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i, -i , й 1 (кратності 2). Базис розв'язків
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): e^{ix} ,\, e^{-ix} ,\, e^x ,\, xe^x \,.
Відповідний дійснозначний базис
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \cos x ,\, \sin x ,\, e^x ,\, xe^x \,.
2.Дано, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y''-4y'+5y=0 \, .
- Характеристичне рівняння
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^2-4z+5=0 \, ,
має корені (2 + і) і (2 - і).
Таким чином, базис розв'язків
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{y_1,y_2\}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\} \, .
Тепер у розв'язком тоді і тільки тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y=c_1y_1+c_2y_2 \, , для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_1,c_2\in\mathbb C .
Оскільки коефіцієнти дійсні,
- ми, ймовірно, не зацікавлені в комплексних розв'язках;
- наші базисні елементи взаємно спряжені.
Лінійні комбінації
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u_1=\mbox{Re}(y_1)=\frac{y_1+y_2}{2}=e^{2x}\cos(x) \,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u_2=\mbox{Im}(y_1)=\frac{y_1-y_2}{2i}=e^{2x}\sin(x) \,
дають нам дійсний базис Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{u_1,u_2\} .
Приклади розв’язання однорідних рівнянянь зі сталими коефіцієнтами[2]
