Відмінності між версіями «Задача з імовірнісніми обмеженнями. Загальний випадок.»
| Рядок 107: | Рядок 107: | ||
<math>f_{0}(x)\to\max</math> | <math>f_{0}(x)\to\max</math> | ||
| − | <math>~F_{ix}^{-1}(\alpha_{i})\leq{0}</math> | + | <math>~F_{ix}^{-1}(\alpha_{i})\leq{0}</math> (8) |
Версія за 12:49, 18 лютого 2013
Наведемо 3 форми запису ймовірнісних умов для загального випадку:
- а) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f_{i}(x)\leq{0}\}\geq{\alpha_{i}}
- б) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(x)\leq{0}\}\geq{\alpha}
- в) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f_{i_{k}}(x)\leq{0},i_{k}\subset{I_{k}}\}\geq{\alpha_{i_{k}}}
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\{f_1(x),\ldots,f_m(x)\}
- вектор-функція, компоненти якої залежать від випадкових параметрів ω.
Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{ix}(t)
- безумовна функція розподілу випадкової величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x)
для заданого x, а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {F_{x}}(f_1,\ldots,f_m)
- сумісна функція розподілу системи випадкових величин Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{ix}(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\ldots\int\limits_{-\infty}^{t}}{\ldots\int\limits_{-\infty}^{\infty}}\,d{F_{x}}(f_1,\ldots,f_m)
Припущення:
- а) залежності тільки між випадковими параметрами, що знаходяться в одному рядку;
- б) всі випадкові параметри можуть бути залежними;
- в) випадкові параметри, що відповідають функціям Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{i_{k}}
для різних k незалежні між собою.
Позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)=\{g_{1}(x),\ldots,g_{m}(x)\} – детермінований вектор. область зміни компонент якого для кожного x обмежується діапазоном зміни відповідної випадкової величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x) .
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g_{i}(x)\in\{\inf{f_{i}(x)},\sup{f_{i}(x)}\}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leq{F_{ix}(g_{i}(x))=P\{f_{i}(x)\leq{g_{i}(x)}}\}\leq{1}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{x}(g(x))=P\{f_{1}(x)\leq{g_{1}(x)},\ldots,f_{m}(x)\leq{g_{m}(x)}\}=P\{f(x)\leq{g(x)}\}
Введені поняття дозволяють сформулювати детерміновані задачі, розв’язки яких співпадають з розв’язками відповідних стохастичних задач з ймовірнісними обмеженнями. Такі задачі називають детермінованими еквівалентами стохастичної задачі.
Задача (б)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{0}(x)\to\max
(1)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(x)\leq{0}\}\geq{\alpha}
(2)
Детермінований еквівалент цієї задачі:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{0}(x)\to{\max}
(3)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{x}(g(x))={\alpha}
(4)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)\leq{0}
(5)
Теорема:
Якщо сумісна функція розподілу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F(x)
компонент випадкового вектора Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\{f_1(x),\ldots,f_m(x)\}
неперервна при будь-якому x, то задача (3)-(5) є детермінованим еквівалентом стохастичної задачі (1)-(2).
Доведення:
Оскільки цільові функції обох задач однакові, то ми доведемо теорему, якщо впевнимося, що обидві задачі мають одну й ту саму область визначення.
Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(\tilde{x})
задовольняє умовам задачі (3)-(5).
З Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{\tilde{x}}(g(\tilde{x}))={\alpha}
випливає, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~P\{f(\tilde{x})\leq{g(\tilde{x})}\}={\alpha}
А з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(\tilde{x})\leq{0}
випливає, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(\tilde{x})\leq{0}\}\geq{\alpha}
Тобто,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{x}
задовольняє умовам стохастичної задачі.
Нехай тепер Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{x}
– план задачі (1)-(2) з ймовірнісним обмеженням Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(\hat{x})\leq{0}\}\geq{\alpha}
Розділимо для кожного x номера компонент вектора f(x) на 3 множини: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): I_{x}^{(1)},I_{x}^{(2)},I_{x}^{(3)}
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i\in I_{x}^{(1)}
,якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x)
– детермінована величина;
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i\in I_{x}^{(2)}
,якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x)
- випадкова величина з від’ємною верхньою гранню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{i}(x)\leq{\bar{f_{i}}(x)}<0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i\in I_{x}^{(3)}
,якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x)
– випадкова величина, для якої Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f_{i}(x)\geq{0}\}>0
.
План Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{x}
задачі (1)-(2) визначає детермінований вектор:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(\hat{x})=\begin{cases} f_{i}(\hat{x}),i\in I_{\hat{x}}^{(1)}\\ \bar{f_{i}}(\hat{x}),i\in I_{\hat{x}}^{(2)}\\ 0,i\in I_{\hat{x}}^{(3)} \end{cases}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(\hat{x})\leq{0}\}=P\{f(\hat{x})\leq{g(\hat{x})}\}\geq{\alpha}
За умовою розподіл Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{\hat{x}}(g(\hat{x}))
неперервний. Це означає, що існує таке Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{g}(\hat{x})
,що:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{g}(\hat{x})\leq{g(\hat{x})}\leq{0}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(\hat{x})\leq{\hat{g}(\hat{x})}\}=\alpha
Таким чином вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{x},\hat{g}(\hat{x})
задовольняють умовам задачі (3)-(5)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{g}(\hat{x})\leq{0}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{\hat{x}}(g(\hat{x}))=\alpha
Теорема доведена.
Аналогічним чином формулюється і обґрунтовується детермінована задача для стохастичних задач, ймовірнісні обмеження в яких записуються у вигляді (а) та (в).
Наприклад, детермінований варіант задачі
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{0}(x)\to\max
(6)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f_{i}(x)\leq{0}\}\geq{\alpha_{i}}
(7)
формулюється наступним чином.
Потрібно знайти детерміновані вектори x і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)=\{g_1(x),\ldots,g_m(x)\}
для яких:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{0}(x)\to\max
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{ix}(g_{i}(x))=\alpha_{i}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g_{i}(x)\leq{0}
Для неперервної функції розподілу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{ix}
детермінований еквівалент задачі (6)-(7) матиме вигляд:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{0}(x)\to\max
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{ix}^{-1}(\alpha_{i})\leq{0}
(8)
