Відмінності між версіями «Модифікації симплексного методу»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
 
(не показано 12 проміжних версій цього учасника)
Рядок 1: Рядок 1:
Модифікації симплексного методу*
+
Модифікації симплексного методу*<br>
1. Двохетапний симплекс-метод. Проблеми зустрічаються тоді, коли штучні змінні є частиною початкового базисного розв’язку. Використання як М у цільовій функції дуже великих чисел може призвести до помилки округлення
+
'''1. Двохетапний симплекс-метод.''' Проблеми зустрічаються тоді, коли штучні змінні є частиною початкового базисного розв’язку. Використання як М у цільовій функції дуже великих чисел може призвести до помилки округлення
Розглянемо задачу (2.60)—(2.61). Процес розв’язування у два етапи.  
+
Розглянемо задачу  
 +
<center><math>\mathbf{maxF=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n}</math></center>
 +
<br>
 +
<center><math>\left\{ {\begin{array}{l}
 +
b_{1}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n} \\
 +
b_{2}=a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n} \\
 +
................................ \\
 +
b_{m}=a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n} \\
 +
x_{i,j}\ge 0 (j=1,2,...,n+m) \\
 +
\end{array}} \right.</math></center>. Процес розв’язування у два етапи.  
 
На першому етапі розв’язується задача виду:
 
На першому етапі розв’язується задача виду:
 
<center><math>\left\{ {\begin{array}{l}
 
<center><math>\left\{ {\begin{array}{l}
Рядок 7: Рядок 16:
 
  b_{2}=a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}+x_{n+2} \\  
 
  b_{2}=a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}+x_{n+2} \\  
 
................................ \\  
 
................................ \\  
  b_{m}=a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}+x_{n+m} \\ \\  
+
  b_{m}=a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}+x_{n+m} \\  
 +
x_{i,j}\ge 0 (j=1,2,...,n+m)  \\  
 
\end{array}} \right.</math></center>
 
\end{array}} \right.</math></center>
 +
де <math> x_{j}(J=n+1,...,n+m)</math> – штучні змінні. Перший етап характеризується використанням лише великих чисел як коефіцієнтів цільової функції. Очевидно значення цільової функції для оптимального плану буде <math>F_{0}(X_{0})=0 </math>. Отже, при <math>F_{0}(X_{0})=0 </math> початкова задача має допустимий базисний розв’язок, причому такий, що не містить штучних змінних.
 +
На другому етапі розв’язування задачі як початковий опорний план береться <math> X_{0} </math> , і процес продовжується за звичайним алгорит¬мом симплексного методу.  На другому етапі задача не містить штучних змінних, отже, значення, що відповідають <math> \pm M </math> , не розглядаються.
 +
Крім того, якщо на першому етапі розв’язання задачі <math> F_{0}(X_{0}) < 0 </math>  , то це означає, що деякі зі штучних змінних додатні, тобто допустимих планів для початкової задачі не існує, її систе-ма обмежень несумісна, задача розв’язків не має. Отже, немає потреби переходити до другого етапу .
 +
Двохетапний метод застосовують до задач, що вимагають операцій над дуже великими числами, які входять у цільову функцію.
 +
 +
 +
 +
 +
'''2. Модифікований симплексний метод.''' Застосування методу виключення змінних Жордана—Гаусса для отримання послідовного ряду симплексних таблиць призводить до накопичення і поширення помилок округлення в такій мірі, що вони спотворюють початкові дані задачі.
 +
З метою зменшення впливу помилок округлення був розроб-лений модифікований симплексний метод. Основні етапи його алгоритму по суті такі ж, як і для симплексного методу. Головна відмінність полягає в тому, що для отримання послідовності симплексних таблиць у модифікованому симплексному методі не застосовується метод виключення змінних Жордана—Гаусса. Допустимо, що розглядається задача лінійного програмування, де базис утворюють останні <math> n+m </math> векторів, які позначимо через <math> X_{2} </math> а відповідні їм коефіцієнти цільової функції — через  <math> C_{2} </math> Аналогічно перші n змінних позначимо через <math> X_{1} </math> , а відповідні коефіцієнти цільової функції — через <math> C_{1} </math>. . Коефіцієнти векторів <math> X{1} </math>. Х1 у системі обмежень утворюють матрицю А. Тоді схематично першу та останню симплексні таблиці можна подати у вигляді (табл.1):
 +
                                                  Таблиця1
 +
 +
[[Файл:Таблица.PNG]]
 +
де <math> B ^ {-1} </math> — матриця, обернена до одиничної, з першої симплексної таблиці. Як видно з наведеної табл. 2.11, вся симплексна таблиця сформована шляхом використання початкових даних (матриця А) та обернення поточного базису <math> B ^ {-1} </math> . Отже, в обчислювальних процедурах модифікованого симплексного методу головна увага зосереджена на мінімізації помилок округлення при обчисленні матриці <math> B ^ {-1} </math> Модифікованим симплексним методом можна скористатись також для зменшення кількості операцій множення.
 +
                                                           
 +
                                                        '''Приклад'''
 +
Посилання http://www.semestr.ru/ks839.html <br> </br>
 +
[[Файл:Пример1.png]]
 +
[[Файл:Пример2.png]]
 +
[[Файл:Пример3.png]]

Поточна версія на 23:03, 4 травня 2012

Модифікації симплексного методу*
1. Двохетапний симплекс-метод. Проблеми зустрічаються тоді, коли штучні змінні є частиною початкового базисного розв’язку. Використання як М у цільовій функції дуже великих чисел може призвести до помилки округлення Розглянемо задачу

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{maxF=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left\{ {\begin{array}{l} b_{1}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n} \\ b_{2}=a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n} \\ ................................ \\ b_{m}=a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n} \\ x_{i,j}\ge 0 (j=1,2,...,n+m) \\ \end{array}} \right.
. Процес розв’язування у два етапи.

На першому етапі розв’язується задача виду:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left\{ {\begin{array}{l} b_{1}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}+x_{n+1} \\ b_{2}=a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}+x_{n+2} \\ ................................ \\ b_{m}=a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}+x_{n+m} \\ x_{i,j}\ge 0 (j=1,2,...,n+m) \\ \end{array}} \right.

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{j}(J=n+1,...,n+m)

– штучні змінні. Перший етап характеризується використанням лише великих чисел як коефіцієнтів цільової функції. Очевидно значення цільової функції для оптимального плану буде Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{0}(X_{0})=0 

. Отже, при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{0}(X_{0})=0

початкова задача має допустимий базисний розв’язок, причому такий, що не містить штучних змінних. 

На другому етапі розв’язування задачі як початковий опорний план береться Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X_{0}

, і процес продовжується за звичайним алгорит¬мом симплексного методу.  На другому етапі задача не містить штучних змінних, отже, значення, що відповідають Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \pm M 
, не розглядаються.

Крім того, якщо на першому етапі розв’язання задачі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{0}(X_{0}) < 0

 , то це означає, що деякі зі штучних змінних додатні, тобто допустимих планів для початкової задачі не існує, її систе-ма обмежень несумісна, задача розв’язків не має. Отже, немає потреби переходити до другого етапу .

Двохетапний метод застосовують до задач, що вимагають операцій над дуже великими числами, які входять у цільову функцію.



2. Модифікований симплексний метод. Застосування методу виключення змінних Жордана—Гаусса для отримання послідовного ряду симплексних таблиць призводить до накопичення і поширення помилок округлення в такій мірі, що вони спотворюють початкові дані задачі. З метою зменшення впливу помилок округлення був розроб-лений модифікований симплексний метод. Основні етапи його алгоритму по суті такі ж, як і для симплексного методу. Головна відмінність полягає в тому, що для отримання послідовності симплексних таблиць у модифікованому симплексному методі не застосовується метод виключення змінних Жордана—Гаусса. Допустимо, що розглядається задача лінійного програмування, де базис утворюють останні Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n+m

векторів, які позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  X_{2} 
а відповідні їм коефіцієнти цільової функції — через  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  C_{2} 
Аналогічно перші n змінних позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  X_{1} 
, а відповідні коефіцієнти цільової функції — через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  C_{1} 

. . Коефіцієнти векторів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X{1} . Х1 у системі обмежень утворюють матрицю А. Тоді схематично першу та останню симплексні таблиці можна подати у вигляді (табл.1):

                                                  Таблиця1

Таблица.PNG де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B ^ {-1}

— матриця, обернена до одиничної, з першої симплексної таблиці. Як видно з наведеної табл. 2.11, вся симплексна таблиця сформована шляхом використання початкових даних (матриця А) та обернення поточного базису Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  B ^ {-1} 
. Отже, в обчислювальних процедурах модифікованого симплексного методу головна увага зосереджена на мінімізації помилок округлення при обчисленні матриці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  B ^ {-1} 
Модифікованим симплексним методом можна скористатись також для зменшення кількості операцій множення.
                                                           
                                                       Приклад

Посилання http://www.semestr.ru/ks839.html
</br> Пример1.png Пример2.png Пример3.png