Відмінності між версіями «Rtr»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
(Позиційна система)
(Сторінка очищена)
 
(не показані 3 проміжні версії цього учасника)
Рядок 1: Рядок 1:
'''Систе́ма чи́слення''' ({{lang-en|number (numeration) system, notation}}) - сукупність способів і засобів запису чисел для проведення підрахунків.
 
  
Розрізняють такі типи систем числення:
 
* '''''позиційні'''''
 
* '''''змішані'''''
 
* '''''непозиційні'''''
 
 
== Позиційна система ==
 
 
У позиційних системах числення одна і та ж цифра (''числовий знак'') у записі числа набуває різних значень залежно від своєї позиції. Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому [[Натуральні числа|натуральному числу]] <math>b</math>, <math>b>1</math>, яке називається ''основою'' системи числення.
 
 
Наприклад, якщо '''b''' - натуральне число (<math>b > 1</math>), то для представлення числа ''x'' у системі числення з основою ''b'' його подають у вигляді [[Векторний простір|лінійної комбінації]] [[Степінь|степенів]] числа ''b'':
 
: <math>x = \sum_{k=0}^n a_k b^k</math>, де <math>a_k</math> — цілі, <math>0 \leq a_k < b</math>
 
 
Іншими словами, основа - це кількість символів, що використовуються при записуванні чисел.
 
 
;Приклад
 
Наприклад, число «двісті чотири» представляється у десятковій системі числення у вигляді:
 
: <math> 204 = 2 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 4 \cdot 10^{0}</math>
 
 
Використовуючи позиційний принцип, можна зобразити будь-яке [[Дійсні числа|дійсне число]] за допомогою усього лиш десяти цифр у їх різних комбінаціях.
 
 
== Змішана система ==
 
'''Змішана система числення''' є узагальненням системи числення з основою <math>b</math> і її часто відносять до позиційних систем числення. Основою змішаної системи є послідовність чисел, що зростає, <math>\{b_k\}_{k=0}^{\infty}</math> і кожне число <math>x</math> представляється як [[Векторний простір|лінійна комбінація]]:
 
:<math>x = \sum_{k=0}^n a_{k}b_k</math>, де на коефіцієнти <math>a_{k}</math> (''цифри'') накладаються деякі обмеження.
 
 
Якщо <math>b_k=b^k</math> для деякого <math>b</math>, то змішана система збігається з <math>b</math>-основною системою числення.
 
 
Найвідомішим прикладом змішаної системи числення є представлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин і секунд. При цьому величина ''d днів h годин m хвилин s секунд'' відповідає значенню <math>d\cdot 24\cdot 60\cdot 60 + h\cdot 60\cdot 60 + m\cdot 60 + s</math> секунд.
 
 
=== Система числення Фібоначчі ===
 
Представлення засновується на [[Числа Фібоначчі|числах Фібоначчі]]:
 
:<math>x = \sum_{k=0}^n f_k F_k</math>, де <math>F_k</math> — числа Фібоначчі, <math>f_k\in\{0,1\}</math>, при цьому у записі <math>f_nf_{n-1}\dots f_0</math> не зустрічаються дві одиниці підряд.
 
 
=== Факторіальна система числення ===
 
Представлення використовує [[факторіал]] натуальних чисел:
 
:<math>x = \sum_{k=1}^n d_k k!</math>, де <math>0\leq d_k \leq k</math>.
 
 
=== Біноміальна система числення ===
 
Представлення використовує [[Біноміальний коефіцієнт|біноміальні коефіцієнти]]:
 
:<math>x = \sum_{k=1}^n {c_k\choose k}</math>, де <math>0\leq c_1 < c_2 < \dots < c_n</math>.
 
 
=== Система числення майя ===
 
[[Майя (цивілізація)|Майя]] використовували двадцяткову систему числення за одним вийнятком: у другому розряді було не 20, а 18 ступенів, тобто після числа (17)(19) відразу йшло число (1)(0)(0). Це було зроблено для полегшення розрахунків календарного циклу, оскільки (1)(0)(0) дорівнювало 360, що приблизно дорівнює кількості днів у сонячному році.
 
 
== Непозиційна система ==
 
 
У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були
 
розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел.
 
 
Типовим прикладом непозиційної системи числення є [[Римська система цифр|римська система числення]], в якій у якості цифр використовуються латинські букви:
 
 
{| align="center" class="standard"
 
|+
 
! |Римська цифра
 
! |Десяткове значення
 
|-----
 
| I
 
| 1
 
|-----
 
| V
 
| 5
 
|-----
 
| X
 
| 10
 
|-----
 
| L
 
| 50
 
|-----
 
| C
 
| 100
 
|-----
 
| D
 
| 500
 
|-----
 
| M
 
| 1000
 
|+
 
|}
 
 
Наприклад, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Тут символи V і I означають 5 і 1, відповідно, незалежно від місця їх у числі.
 
 
== Застосування ==
 
У [[Нумізматика|нумізматиці]] особливо велику вагу мають [[Десяткова система числення|десяткова система]], дванадцяткова ([[Дуодецимальна система числення|дуодецимальна]]),  четвертна та шісткова системи. У [[ІТ|інформаційних технологія]] застосовуються [[двійкова система числення|двійкова]], [[десяткова система числення|десяткова]], [[вісімкова система числення|вісімкова]], та [[шістнадцяткова система числення|шістнадцяткова]] системи.
 
 
== Див. також ==
 
* [[Позиційні системи числення]]
 
* [[Непозиційні системи числення]]
 
* [[Єгипетська система числення]]
 
* [[Арабська система числення]]
 
* [[Римська система числення]]
 
* [[Двійкова система числення]]
 
* [[Вісімкова система числення]]
 
* [[Десяткова система числення]]
 
* [[Шістнадцяткова система числення]]
 
 
== Література ==
 
{{section-stub}}
 
<!-- Хотілося б україномовної літератури -->
 
 
{{math-stub}}
 
 
[[Категорія:Системи числення]]
 
[[Категорія:Математична нотація]]
 
 
[[ar:نظام عد]]
 
[[be:Сістэма злічэння]]
 
[[be-x-old:Сыстэма зьлічэньня]]
 
[[bg:Бройна система]]
 
[[bs:Brojevni sistem]]
 
[[ca:Sistema de numeració]]
 
[[cs:Číselná soustava]]
 
[[cv:Шутлав йĕрки]]
 
[[da:Talsystem]]
 
[[de:Zahlensystem]]
 
[[en:Numeral system]]
 
[[eo:Cifereca sistemo]]
 
[[es:Sistema de numeración]]
 
[[eu:Zenbaki-sistema]]
 
[[fa:دستگاه شمارش]]
 
[[fi:Lukujärjestelmä]]
 
[[fr:Système de numération]]
 
[[gl:Sistema de numeración]]
 
[[he:שיטת ספירה]]
 
[[hi:संख्या पद्धतियाँ]]
 
[[hr:Brojevni sustav]]
 
[[ht:Sistèm nimewotasyon]]
 
[[hu:Számrendszerek]]
 
[[id:Sistem bilangan]]
 
[[it:Sistema di numerazione]]
 
[[ja:位取り記数法]]
 
[[jv:Sistem wilangan]]
 
[[ka:თვლის სისტემა]]
 
[[kk:Санау]]
 
[[ko:기수법]]
 
[[la:Systema numerale]]
 
[[lv:Skaitīšanas sistēma]]
 
[[mhr:Чотрадам системе]]
 
[[mk:Броен систем]]
 
[[ml:സംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങൾ]]
 
[[ms:Sistem angka]]
 
[[nl:Talstelsel]]
 
[[no:Tallsystem]]
 
[[oc:Sistèma de numeracion]]
 
[[pl:System liczbowy]]
 
[[pt:Sistema de numeração]]
 
[[ro:Sistem de numerație]]
 
[[ru:Система счисления]]
 
[[sh:Brojevni sistem]]
 
[[si:සංඛ්‍යාත පද්ධති]]
 
[[simple:Numeral system]]
 
[[sl:Številski sistem]]
 
[[sv:Talsystem]]
 
[[ta:எண்ணுரு]]
 
[[th:ระบบเลข]]
 
[[tr:Sayı sistemi]]
 
[[yi:נומערן סיסטעם]]
 
[[zh:记数系统]]
 
[[zh-min-nan:Sò͘-jī]]
 

Поточна версія на 16:55, 22 жовтня 2011