Відмінності між версіями «Rtr»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
Рядок 95: Рядок 95:
 
* [[Шістнадцяткова система числення]]
 
* [[Шістнадцяткова система числення]]
  
== Література ==
 
{{section-stub}}
 
<!-- Хотілося б україномовної літератури -->
 
  
{{math-stub}}
 
 
[[Категорія:Системи числення]]
 
[[Категорія:Математична нотація]]
 
 
[[ar:نظام عد]]
 
[[be:Сістэма злічэння]]
 
[[be-x-old:Сыстэма зьлічэньня]]
 
[[bg:Бройна система]]
 
[[bs:Brojevni sistem]]
 
[[ca:Sistema de numeració]]
 
[[cs:Číselná soustava]]
 
[[cv:Шутлав йĕрки]]
 
[[da:Talsystem]]
 
[[de:Zahlensystem]]
 
[[en:Numeral system]]
 
[[eo:Cifereca sistemo]]
 
[[es:Sistema de numeración]]
 
[[eu:Zenbaki-sistema]]
 
[[fa:دستگاه شمارش]]
 
[[fi:Lukujärjestelmä]]
 
[[fr:Système de numération]]
 
[[gl:Sistema de numeración]]
 
[[he:שיטת ספירה]]
 
[[hi:संख्या पद्धतियाँ]]
 
[[hr:Brojevni sustav]]
 
[[ht:Sistèm nimewotasyon]]
 
[[hu:Számrendszerek]]
 
[[id:Sistem bilangan]]
 
[[it:Sistema di numerazione]]
 
[[ja:位取り記数法]]
 
[[jv:Sistem wilangan]]
 
[[ka:თვლის სისტემა]]
 
[[kk:Санау]]
 
[[ko:기수법]]
 
[[la:Systema numerale]]
 
[[lv:Skaitīšanas sistēma]]
 
[[mhr:Чотрадам системе]]
 
[[mk:Броен систем]]
 
[[ml:സംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങൾ]]
 
[[ms:Sistem angka]]
 
[[nl:Talstelsel]]
 
[[no:Tallsystem]]
 
[[oc:Sistèma de numeracion]]
 
[[pl:System liczbowy]]
 
[[pt:Sistema de numeração]]
 
[[ro:Sistem de numerație]]
 
[[ru:Система счисления]]
 
[[sh:Brojevni sistem]]
 
[[si:සංඛ්‍යාත පද්ධති]]
 
[[simple:Numeral system]]
 
[[sl:Številski sistem]]
 
[[sv:Talsystem]]
 
[[ta:எண்ணுரு]]
 
[[th:ระบบเลข]]
 
[[tr:Sayı sistemi]]
 
[[yi:נומערן סיסטעם]]
 
[[zh:记数系统]]
 
[[zh-min-nan:Sò͘-jī]]
 
 
----
 
----
 
[[ Розвиток систем числення ]]
 
[[ Розвиток систем числення ]]

Версія за 16:53, 22 жовтня 2011

Систе́ма чи́слення (англ. number (numeration) system, notation) - сукупність способів і засобів запису чисел для проведення підрахунків.

Розрізняють такі типи систем числення:

  • позиційні
  • змішані
  • непозиційні

Позиційна система

У позиційних системах числення одна і та ж цифра (числовий знак) у записі числа набуває різних значень залежно від своєї позиції. Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому натуральному числу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b>1 , яке називається основою системи числення.

Наприклад, якщо b - натуральне число (Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b > 1 ), то для представлення числа x у системі числення з основою b його подають у вигляді лінійної комбінації степенів числа b:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=0}^n a_k b^k

, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_k

— цілі, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0 \leq a_k < b


Іншими словами, основа - це кількість символів, що використовуються при записуванні чисел.

Приклад

Наприклад, число «двісті чотири» представляється у десятковій системі числення у вигляді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 204 = 2 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 4 \cdot 10^{0}


Використовуючи позиційний принцип, можна зобразити будь-яке дійсне число за допомогою усього лиш десяти цифр у їх різних комбінаціях.

Змішана система

Змішана система числення є узагальненням системи числення з основою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b

і її часто відносять до позиційних систем числення. Основою змішаної системи є послідовність чисел, що зростає, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{b_k\}_{k=0}^{\infty}
і кожне число Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x
представляється як лінійна комбінація:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=0}^n a_{k}b_k

, де на коефіцієнти Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_{k}

(цифри) накладаються деякі обмеження.

Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_k=b^k

для деякого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b

, то змішана система збігається з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b -основною системою числення.

Найвідомішим прикладом змішаної системи числення є представлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин і секунд. При цьому величина d днів h годин m хвилин s секунд відповідає значенню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): d\cdot 24\cdot 60\cdot 60 + h\cdot 60\cdot 60 + m\cdot 60 + s

секунд.

Система числення Фібоначчі

Представлення засновується на числах Фібоначчі:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=0}^n f_k F_k

, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_k

— числа Фібоначчі, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_k\in\{0,1\}

, при цьому у записі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_nf_{n-1}\dots f_0

не зустрічаються дві одиниці підряд.

Факторіальна система числення

Представлення використовує факторіал натуальних чисел:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=1}^n d_k k!

, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leq d_k \leq k .

Біноміальна система числення

Представлення використовує біноміальні коефіцієнти:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=1}^n {c_k\choose k}

, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leq c_1 < c_2 < \dots < c_n .

Система числення майя

Майя використовували двадцяткову систему числення за одним вийнятком: у другому розряді було не 20, а 18 ступенів, тобто після числа (17)(19) відразу йшло число (1)(0)(0). Це було зроблено для полегшення розрахунків календарного циклу, оскільки (1)(0)(0) дорівнювало 360, що приблизно дорівнює кількості днів у сонячному році.

Непозиційна система

У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел.

Типовим прикладом непозиційної системи числення є римська система числення, в якій у якості цифр використовуються латинські букви:

Римська цифра Десяткове значення
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000

Наприклад, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Тут символи V і I означають 5 і 1, відповідно, незалежно від місця їх у числі.

Застосування

У нумізматиці особливо велику вагу мають десяткова система, дванадцяткова (дуодецимальна), четвертна та шісткова системи. У інформаційних технологія застосовуються двійкова, десяткова, вісімкова, та шістнадцяткова системи.

Див. також



Розвиток систем числення