Відмінності між версіями «Закон Гука та межі нелінійності»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
(Створена сторінка: [[Файл:Simple harmonic oscillator.gif|thumb|Коливання гармонічного осцилятора, для якого справедливий зак...)
 
(Закон Гука для випадку одновісного напруженого стану)
Рядок 7: Рядок 7:
 
== Закон Гука для випадку одновісного напруженого стану ==
 
== Закон Гука для випадку одновісного напруженого стану ==
  
У своїй найпростішій формі закон Гука записується для деформації довгого тонкого [[стрижень|стрижня]] або [[пружина|пружини]]
+
У своїй найпростішій формі закон Гука записується для деформації довгого тонкого трижень або пружина
 
: <math>  F = - k x</math>,
 
: <math>  F = - k x</math>,
  
де F — сила, k — [[коефіцієнт жорсткості]], х — видовження.
+
де F — сила, k — коефіцієнт жорсткості, х — видовження.
  
Ця формула не враховує зміни поперечних розмірів стрижня при [[розтяг]]у. Крім того коефіцієнт жорсткості — це властивість
+
Ця формула не враховує зміни поперечних розмірів стрижня при розтяг у. Крім того коефіцієнт жорсткості — це властивість
стрижня, а не властивість [[матеріал]]у, з якого він виготовлений.
+
стрижня, а не властивість матеріал у, з якого він виготовлений.
  
Запис закону Гука через напруження і відносні деформації дає можливість виключити вплив конструктивних особливостей [[стрижень|стрижня]] на вид залежності між силовим параметром і деформацією. Для випадку лінійного навантаження закон Гука має вигляд:
+
Запис закону Гука через напруження і відносні деформації дає можливість виключити вплив конструктивних особливостей стрижень на вид залежності між силовим параметром і деформацією. Для випадку лінійного навантаження закон Гука має вигляд:
  
 
:<math> \sigma = E \frac{\Delta l}{l} = E \epsilon </math>,
 
:<math> \sigma = E \frac{\Delta l}{l} = E \epsilon </math>,
  
де: σ — механічне [[напруження]], визначається, як [[сила]], що припадає на одиницю площі поперечного перерізу тіла;
+
де: σ — механічне напруження, визначається, як сила, що припадає на одиницю площі поперечного перерізу тіла;
 
:<math> \epsilon = \frac{\Delta l}{l} </math> — величина відносної деформації (відносне видовження);
 
:<math> \epsilon = \frac{\Delta l}{l} </math> — величина відносної деформації (відносне видовження);
:''E'' – [[модуль Юнга]].
+
:''E'' – модуль Юнга.
  
 
== Закон Гука для тривимірного напруженого стану ==
 
== Закон Гука для тривимірного напруженого стану ==

Версія за 09:41, 23 травня 2011

Файл:Simple harmonic oscillator.gif
Коливання гармонічного осцилятора, для якого справедливий закон Гука

Закон Гука встановлює лінійну залежність між деформацією й механічними напруженнями.

Закон Гука справедливий для малих пружних деформацій.

Закон Гука для випадку одновісного напруженого стану

У своїй найпростішій формі закон Гука записується для деформації довгого тонкого трижень або пружина

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F = - k x

,

де F — сила, k — коефіцієнт жорсткості, х — видовження.

Ця формула не враховує зміни поперечних розмірів стрижня при розтяг у. Крім того коефіцієнт жорсткості — це властивість стрижня, а не властивість матеріал у, з якого він виготовлений.

Запис закону Гука через напруження і відносні деформації дає можливість виключити вплив конструктивних особливостей стрижень на вид залежності між силовим параметром і деформацією. Для випадку лінійного навантаження закон Гука має вигляд:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma = E \frac{\Delta l}{l} = E \epsilon

,

де: σ — механічне напруження, визначається, як сила, що припадає на одиницю площі поперечного перерізу тіла;

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon = \frac{\Delta l}{l}
— величина відносної деформації (відносне видовження);
E – модуль Юнга.

Закон Гука для тривимірного напруженого стану

Закон Гука для тривимірного (складного) напруженого стану у випадку ізотропного матеріалу може бути записаний у вигляді системи рівнянь:

для лінійних деформацій
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon_x = \frac {1} {E} [\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z)]


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon_y = \frac {1} {E} [\sigma_y - \nu(\sigma_z + \sigma_x)]


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon_z = \frac {1} {E} [\sigma_z - \nu(\sigma_x + \sigma_y)]


для деформацій зсуву
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma_{xy} = \frac {\tau_{xy}} {G}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma_{xz} = \frac {\tau_{xz}} {G}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma_{yz} = \frac {\tau_{yz}} {G}


де:

εдеформація розтягу-стиску в точці,
σнапруження розтягу-стиску,
γдеформація зсуву (кутова) в точці,
τнапруження зсуву (дотичне напруження) в точці,
Gмодуль зсуву,
Eмодуль Юнга
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nu
- коефіцієнт Пуассона.

Закон можна сформулювати так: компоненти тензора деформації в даній точці тіла знаходяться в лінійній залежності від компонентів тензора напруження тієї ж точки.

Строга форма запису закону Гука

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma_{ik} = \sum_{lm} \lambda_{iklm} \varepsilon_{lm}

,

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma_{ik}

тензор механічних напружень, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \varepsilon_{lm} тензор деформації, а

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda_{iklm}

— тензор чертвертого рангу, який називається тензором модулів пружності і

є характеристикою речовини.

Закон Гука був сформульований Робертом Гуком у 1660.