Відмінності між версіями «Екстремальні задачі та розв’язувальні розподіли. Класифікація задач за розв’язувальними розподілами: з детермін.и умовами...»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
 
(не показані 13 проміжних версій 3 учасників)
Рядок 1: Рядок 1:
'''''<font color='green' size=5> Екстремальні задачі та розв’язувальні розподіли.  Класифікація задач за розв’язувальними розподілами: з детермінованими умовами, з апріорними розв’язувальними правилами, з апостеріорними розв’язувальними правилами.</font>'''''
+
'''''<font color='green' size=5> Екстремальні задачі та розв’язувальні розподіли.</font>'''''
<font  size=3>  <p align=justify > 1.1. Залежно від змісту постановки плану і розв'язання, задачі обчислюються в ''чистих'' або ''змішаних'' стратегіях. Розв'язок чистих стратегій - це вектор - оптимальний план задачі. Змішані задачі являють собою ймовірнісні розподіли компонент оптимального плану.  У відповідності із інформаційною структурою задачі як чисті , так і змішані стратегії можуть залежати або не залежати від спостережених реалізацій випадкових параметрів умов задачі. Рішення в чистих стратегіях будемо називати ''вирішальними правилами'', рішення в змішаних стратегіях - ''вирішальними розподілами''.</p>
+
  
<p align=justify >Таким чином, у загальному випадку розв'язком задачі стохастичного програмування є вирішальне правило або вирішальний розподіл, що залежить, взагалі кажучи, від двох груп чинників. Фактори першої групи не пов'язані із спостереженням поточних значень параметрів умов завдання. Вони визначаються '''''апріорною інформацією''''' - деякими характеристиками розподілу або вибіркою можливих значень випадкових параметрів умов. Фактори першої групи можуть бути завчасно використані для побудови вирішального правила або вирішального розподілу. Фактори другої групи визначаються '''''апостеріорною інформацією''''', що з'являється в результаті спостереження, вирішальні правила і вирішальні розподіли залежать тільки від детермінованих параметрів і статистичних характеристик випадкових параметрів умов задачі.</p>
 
  
Наведемо формальний запис всіх трьох класів умов екстремальних задач.  
+
<font  size=3>  Математичне програмування – це прикладна математична дисципліна, яка досліджує екстремальні задачі (задачі пошуку максимуму або мінімуму) та розробляє методи їх розв'язання. Задачі такого типу ще називають оптимізаційними. Математичне програмування відіграє дуже важливу роль як в подальшій математичній освіті, та і в майбутній професійній діяльності, оскільки дозволяє вирішувати багато управлінських і організаційних задач оптимальним чином.
У задачах першого класу з детермінованими параметрами умов потрібно обчислити розподіл <math>F_{x}</math>  вектора х при якому:
+
<br />
 +
==  ==
 +
Прикладом використання знань з математичного програмування може бути розв’язання таких виробничих задач: <br />
 +
1. Отримання максимального прибутку або випуску максимального об’єму продукції при заданих матеріальних, трудових, енергетичних або часових витратах; <br />
 +
2. Забезпечення планових показників підприємства при мінімальному розмірі фінансових вкладень; <br />
 +
3. Досягнення максимально короткого терміну виготовлення продукції, будівництва об'єкту, товарообігу, виробничого циклу і тому подібного при існуючих або заданих виробничих ресурсах;  <br />
 +
4. Вибір параметрів об’єкту або процесу, при яких забезпечується його максимальна корисність. <br />
 +
 
 +
Поняття - максимум i мiнiмум - об'єднанi єдиним термiном "екстремум".
 +
Задачі на відшукання максимуму та мінімуму називають екстремальними задачами.
 +
<br />Точно поставлена екстремальна задача мiстить такi елементи:<br />
 +
<br /> * простiр елементiв X, який є нормованим з нормою k·k, множина допустимих елементiв (обмежень) C ⊆ X, <br />
 +
<br /> * цiльовий функцiонал f: X→R ̅, який потрiбно мiнiмiзувати або максимiзувати на множинi допустимих елементiв, деR ̅ := R ∪ {±∞}. <br />
 +
  <br />  Таким чином, потрiбно звести поставленi задачi до вигляду <math> f(x)  \rightarrow extr  </math> .<br />
 +
<br /> Пiсля формалiзацiї екстремальної задачi виникає питання про її розв’язнiсть. Зауважимо, що в силу рiвностi:<br />
 +
<math>supf(x) = -inf(-f(x)) </math>
 +
<br />бiльшiсть теоретичних результатiв сформулюємо лише для задачi мiнiмiзацiї. При розв’язаннi екстремальної задачi розрiзняють глобальний i локальний екстремум.
 +
<br />Залежно від властивостей функцій у і f математичне програмування розпадається на декілька самостійних дисциплін, що займаються дослідженням і розробкою методів розв’язання окремих класів задач. <br />
 +
 
 +
----<br />Методи розв’язування стохастичних задач поділяють на дві групи — '''''<font color='black'>прямі та непрямі</font>'''''.<br />
 +
<br />'''''<font color='black'>Прямі методи</font>''''' використовують для розв’язування задач стохастичного програмування, коли існують способи побудови функцій f (X ,ω) і gi (X ,ω) ≤ ,0 i = ,1 m на базі інформації щодо параметра ω.
 +
 
 +
<br />'''''<font color='black'>Непрямими</font>''''' є методи зведення стохастичної задачі до задачі лінійного чи нелінійного програмування, тобто перехід до детермінованого аналога задачі стохастичного програмування.
 +
<br />Детерміноване моделювання не дає змоги об’єднати два етапи: прийняття плану та його коректування. Перехід від детермінованих моделей до стохастичних, в яких використовуються випадкові величини, що саме і викликають необхідність корекції, уможливлює отримання математичних моделей, що об’єднують вищеназвані два етапи планування.<br />
 +
<br />Отже, в результаті розв’язування двохетапних стохастичних задач отримують плани, що є стійкими за умов невизначеності і мінімізують загальні витрати на реалізацію і корекцію плану, тобто забезпечують загальний ефект від попереднього плану та його корекції.<br />
 +
<br />  Функції двох змінних як інструмент дослідження знаходять застосування в різних сферах людської діяльності при вивченні явищ самої різної природи. Одна з найважливіших проблем, що постають перед дослідниками, полягає у встановленні меж, в яких розвивається досліджуваний процес. Якщо цей процес описується функцією, то питання зводиться до визначення найбільшого і найменшого з її можливих значень, які стають найважливішими якісними і числовими характеристиками даного процесу.<br />
 +
 
 +
'''''<font color='green' size=5> Класифікація задач за розв’язувальними розподілами: з детермінованими умовами , з апріорними розв’язувальними правилами, з апостеріорними розв’язувальними правилами.</font>'''''
 +
 
 +
<br />Задачі обчислюються в чистих або змішаних стратегіях. ЦРозв'язок чистих стратегій - це вектор - оптимальний план задачі. Змішані задачі являють собою ймовірнісні розподіли компонент оптимального плану. У відповідності із інформаційною структурою задачі як чисті , так і змішані стратегії можуть залежати або не залежати від спостережених реалізацій випадкових параметрів умов задачі. <br />
 +
<br />Розв’язок в чистих стратегіях називатиметься '''''<font color='black'>вирішальними правилами</font>''''', розв’язок в змішаних стратегіях - '''''<font color='black'>вирішальними розподілами</font>'''''.  <br />
 +
<br /> Таким чином, у загальному випадку розв'язком задачі стохастичного програмування є вирішальне правило або вирішальний розподіл, що залежить, взагалі кажучи, від двох груп чинників. <br />
 +
<br /> Фактори першої групи не пов'язані із спостереженням поточних значень параметрів умов завдання. Вони визначаються апріорною інформацією - деякими характеристиками розподілу або вибіркою можливих значень випадкових параметрів умов. Фактори першої групи можуть бути завчасно використані для побудови вирішального правила або вирішального розподілу.  <br />
 +
<br />Апостеріорною інформацією визначаються фактори другої групи, а саме інформацією, що з'являється в результаті спостереження, вирішальні правила і вирішальні розподіли залежать тільки від детермінованих параметрів і статистичних характеристик випадкових параметрів умов задачі.  <br />
 +
 
 +
<br />Умовні екстремальні задачі, в яких змішані стратегії мають змістовний сенс можна розділити на три класи.<br />
 +
 
 +
<br /> ♦ перший клас: до нього відносять задачі математичного програмування з '''''<font color='black'>детермінованими умовами</font>''''' , в яких оптимальний план визначається у вигляді розв’язувального розподілу. Функціонали, що виражають показники якості розв’язку і обмеження таких моделей, замінюються на математичне сподівання.<br />
 +
<br /> ♦ другий клас включає стохастичні задачі, в яких рішення має бути прийняте до спостережень над реалізацією випадкових параметрів умов. Розв’язувальні розподіли в цьому випадку не залежать від реалізації випадку. <br />
 +
<br /> Так само, як і задачі з апріорними розв’язувальними правилами ці розв’язувальні розподіли називають апріорними. <br />
 +
<br /> ♦ третій клас включає в себе задачі, в яких є доцільним приймати після спостережень над реалізацією випадкових параметрів умов задачі. Саме в таких задачах розв’язувальні розподіли напряму залежать від реалізації випадку. Правильним є такі задачі називати апостеріорними задачами.  <br />
 +
<br /> Таким чином далі можна навести формальний запис трьох класів умов екстремальних задач.
 +
Задачі, які належать до першого класу, а саме задачі з детермінованими параметрами умов: <br />
 +
 
 +
 
 +
Наведемо формальний запис всіх трьох класів умов екстремальних задач.
 +
 +
<math>F_{x}</math>  вектора х при якому:
  
 
<math>M\phi_{0} (x) =\int \phi_{0} dF_{x} \rightarrow inf </math>,                  (3.1)
 
<math>M\phi_{0} (x) =\int \phi_{0} dF_{x} \rightarrow inf </math>,                  (3.1)
Рядок 31: Рядок 76:
 
<math> x\in X </math>.  (3.9)
 
<math> x\in X </math>.  (3.9)
  
1.2. Розглянемо детальніше задачі (3.1)-(3.3) першого класу. Введемо нові змінні:
+
'''1.2. ''' Розглянемо детальніше задачі (3.1)-(3.3) першого класу. Введемо нові змінні:
  
 
<math> \tilde{y_{i}}= \phi_{i}(x) ,  i=1,2,...,m  </math>,    (3.10)
 
<math> \tilde{y_{i}}= \phi_{i}(x) ,  i=1,2,...,m  </math>,    (3.10)
  
Відображення (3.10) переводить множину  <math> X  \subset R^{n} </math> в <math> У \subset R^{m+1} </math>. В загальному випадку У- не опукла і не замкнена множина. Позначимо через соУ випуклу оболонку множини У. Задача (3.1)-(3.3) Може бути переписана у вигляді:
+
Відображення (3.10) переводить множину  <math> X  \subset R^{n} </math> в <math>  X \subset R^ {m + 1} </math>. В загальному випадку У- не опукла і не замкнена множина. Позначимо через соУ випуклу оболонку множини У. Задача (3.1)-(3.3) Може бути переписана у вигляді:
  
 
<math>  y_{0}  \rightarrow inf </math> ,    (3.11)
 
<math>  y_{0}  \rightarrow inf </math> ,    (3.11)
Рядок 43: Рядок 88:
 
<math>  y=(y_{0},y_{1},...,y_{m}) \in coY  </math>.(3.13)
 
<math>  y=(y_{0},y_{1},...,y_{m}) \in coY  </math>.(3.13)
  
Згідно з теоремою Каратеодорі для побудови випуклої оболонки з множини У із m+1- вимірного простору потрібно в загальному випадку не більше m+2 точок <math> y \in Y </math>. Це означає, що соУ може бути представлена у вигляді:
+
Якщо слідувати умовам теореми Каратеодорі для побудови випуклої оболонки з множини У із m+1- вимірного простору потрібно в загальному випадку не більше m+2 точок <math> y \in Y </math>. Це означає, що соУ може бути представлена у вигляді:
  
 
<math>\ coY= \{\sum^{m+1}_{k=0} {\phi_{i}(x_{k})p_{k}}; i=0,1,...,m; p_{k}\geq 0 ,  \sum^{m+1}_{k=0} p_{k}=1, x_{k} \in X \} </math>.
 
<math>\ coY= \{\sum^{m+1}_{k=0} {\phi_{i}(x_{k})p_{k}}; i=0,1,...,m; p_{k}\geq 0 ,  \sum^{m+1}_{k=0} p_{k}=1, x_{k} \in X \} </math>.
Рядок 57: Рядок 102:
 
<math> \sum^{m}_{k=0} {\phi_{0}(x_{k})p_{k}}</math>, (3.14)
 
<math> \sum^{m}_{k=0} {\phi_{0}(x_{k})p_{k}}</math>, (3.14)
  
за умов
+
за умови
  
<math> \sum^{m}_{k=0} {\phi_{і}(x_{k})p_{k}}\leqslant 0,i=1,2,...,m, </math>(3.15)
+
<math>  x_{k} \in X, p_{k} \geq  0, k=0,1,...,m, \sum^{m}_{k=0} p_{k}=1.</math>  (3.16)
 
+
<math>  x_{k} \in X, p_{k} \geq  0, k=1,2,...,m, \sum^{m}_{k=0} p_{k}=1.</math>  (3.16)
+
  
 
Вектори <math>  x_{k}^* </math> і числа  <math>  p_{k}^* </math>, що складають оптимальний план задачі (3.14)-(3.16), визначають дискретний розв'язувальний розподіл  вихідної задачі (3.1)-(3.3).
 
Вектори <math>  x_{k}^* </math> і числа  <math>  p_{k}^* </math>, що складають оптимальний план задачі (3.14)-(3.16), визначають дискретний розв'язувальний розподіл  вихідної задачі (3.1)-(3.3).
  
Визначення апріорних вирішальних розподілів завдань другого класу - стохастичних задач виду (3,4)-(3,6) може бути аналогічним образом зведена до рішення задач кінцево-метричного нелінійного програмування.
+
'''1.3. '''Визначення апріорних вирішальних розподілів завдань другого класу - стохастичних задач виду (3,4)-(3,6) може бути аналогічним образом зведена до рішення задач кінцево-метричного нелінійного програмування.
  
 
Позначимо
 
Позначимо
Рядок 74: Рядок 117:
  
 
Потрібно обрахувати вектори <math>  x_{k}^* </math> і числа  <math>  p_{k}^* </math>  які визначають нижню межу функціоналу:
 
Потрібно обрахувати вектори <math>  x_{k}^* </math> і числа  <math>  p_{k}^* </math>  які визначають нижню межу функціоналу:
 +
 +
<math> \sum^{m}_{k=0} \tilde {\phi_{0}(x_{k})p_{k}} </math> (3.18)
 +
 +
за умов
 +
 +
<math> \sum^{m}_{k=0} \tilde {\phi_{i}(x_{k})p_{k}} \leqslant  0.</math> (3.19)
 +
 +
<math> x\in X, p_{k} \geq  0, k=0,1,...,m,  \sum^{m}_{k=0} p_{k}=1. </math> (3.20)
 +
 +
Оптимальний план <math> x_{k}^*, p_{k}^*, k = 0,1,...,m, </math> задачі (3.18) - (3.20) визначає дискретний розв'язувальний розподіл задачі (3.4) - (3.6).
 +
 +
У випадку, коли множина X складається з скінченного числа s точок <math> x_{1}, ..., x_{s},</math>. обрахунок вирішального розподілу зводиться до вирішення задачі лінійного програмування
 +
 +
<math> \sum^{s}_{k=1} \tilde {\phi_{0}(x_{k})p_{k}} \rightarrow min </math> (3.21)
 +
 +
<math> \sum^{s}_{k=1} \tilde {\phi_{i}(x_{k})p_{k}} \leqslant  0i=1,2,...,m.</math>  (3.22)
 +
 +
<math>\sum^{s}_{k=1} p_{k}=1, </math> (3.23)
 +
 +
<math>p_{k} \geq  0, k=1,...,s. </math> (3.24)
 +
 +
Задача також має певні обмеження. Однією з них є умова невід'ємності змінних задача. А також, оптимальний план задачі ( 3.21 ) - ( 3.24 ) містить не більше m+1 додатних значень <math>  p_{k} </math>. Величини <math> p_{k}^* \geq 0</math> і відповідні їм вектори <math> x_{k}^* </math> визначають апріорні дискретні вирішальні розподіли розглянутої задачі .Такі міркування є справедливими і для множини Х, яка складається із скінченного числа точок. Цей же принцип може бити використаний для наближення апріорного вирішального розподілу у випадку, коли множина Х являє собою компакт. Дискретні значення <math> x_{k} </math> відповідають вузлам <math> \epsilon </math>- мережі(сети) множини Х.
  
 
</font>
 
</font>
 
   
 
   
 
Виконала: [[Користувач:Чуйкова Анна|Чуйкова Анна Сергіївна]]
 
Виконала: [[Користувач:Чуйкова Анна|Чуйкова Анна Сергіївна]]
 +
 +
Редагувала: [[Користувач:Кухаренко Настя|Кухаренко Анастасія]]

Поточна версія на 22:58, 19 грудня 2020

Екстремальні задачі та розв’язувальні розподіли.


Математичне програмування – це прикладна математична дисципліна, яка досліджує екстремальні задачі (задачі пошуку максимуму або мінімуму) та розробляє методи їх розв'язання. Задачі такого типу ще називають оптимізаційними. Математичне програмування відіграє дуже важливу роль як в подальшій математичній освіті, та і в майбутній професійній діяльності, оскільки дозволяє вирішувати багато управлінських і організаційних задач оптимальним чином.

Прикладом використання знань з математичного програмування може бути розв’язання таких виробничих задач:
1. Отримання максимального прибутку або випуску максимального об’єму продукції при заданих матеріальних, трудових, енергетичних або часових витратах;
2. Забезпечення планових показників підприємства при мінімальному розмірі фінансових вкладень;
3. Досягнення максимально короткого терміну виготовлення продукції, будівництва об'єкту, товарообігу, виробничого циклу і тому подібного при існуючих або заданих виробничих ресурсах;
4. Вибір параметрів об’єкту або процесу, при яких забезпечується його максимальна корисність.

Поняття - максимум i мiнiмум - об'єднанi єдиним термiном "екстремум". Задачі на відшукання максимуму та мінімуму називають екстремальними задачами.
Точно поставлена екстремальна задача мiстить такi елементи:

* простiр елементiв X, який є нормованим з нормою k·k, множина допустимих елементiв (обмежень) C ⊆ X,

* цiльовий функцiонал f: X→R ̅, який потрiбно мiнiмiзувати або максимiзувати на множинi допустимих елементiв, деR ̅ := R ∪ {±∞}.

 
Таким чином, потрiбно звести поставленi задачi до вигляду Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) \rightarrow extr .


Пiсля формалiзацiї екстремальної задачi виникає питання про її розв’язнiсть. Зауважимо, що в силу рiвностi:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): supf(x) = -inf(-f(x))


бiльшiсть теоретичних результатiв сформулюємо лише для задачi мiнiмiзацiї. При розв’язаннi екстремальної задачi розрiзняють глобальний i локальний екстремум.
Залежно від властивостей функцій у і f математичне програмування розпадається на декілька самостійних дисциплін, що займаються дослідженням і розробкою методів розв’язання окремих класів задач.



Методи розв’язування стохастичних задач поділяють на дві групи — прямі та непрямі.


Прямі методи використовують для розв’язування задач стохастичного програмування, коли існують способи побудови функцій f (X ,ω) і gi (X ,ω) ≤ ,0 i = ,1 m на базі інформації щодо параметра ω.


Непрямими є методи зведення стохастичної задачі до задачі лінійного чи нелінійного програмування, тобто перехід до детермінованого аналога задачі стохастичного програмування.
Детерміноване моделювання не дає змоги об’єднати два етапи: прийняття плану та його коректування. Перехід від детермінованих моделей до стохастичних, в яких використовуються випадкові величини, що саме і викликають необхідність корекції, уможливлює отримання математичних моделей, що об’єднують вищеназвані два етапи планування.

Отже, в результаті розв’язування двохетапних стохастичних задач отримують плани, що є стійкими за умов невизначеності і мінімізують загальні витрати на реалізацію і корекцію плану, тобто забезпечують загальний ефект від попереднього плану та його корекції.

Функції двох змінних як інструмент дослідження знаходять застосування в різних сферах людської діяльності при вивченні явищ самої різної природи. Одна з найважливіших проблем, що постають перед дослідниками, полягає у встановленні меж, в яких розвивається досліджуваний процес. Якщо цей процес описується функцією, то питання зводиться до визначення найбільшого і найменшого з її можливих значень, які стають найважливішими якісними і числовими характеристиками даного процесу.

Класифікація задач за розв’язувальними розподілами: з детермінованими умовами , з апріорними розв’язувальними правилами, з апостеріорними розв’язувальними правилами.


Задачі обчислюються в чистих або змішаних стратегіях. ЦРозв'язок чистих стратегій - це вектор - оптимальний план задачі. Змішані задачі являють собою ймовірнісні розподіли компонент оптимального плану. У відповідності із інформаційною структурою задачі як чисті , так і змішані стратегії можуть залежати або не залежати від спостережених реалізацій випадкових параметрів умов задачі.

Розв’язок в чистих стратегіях називатиметься вирішальними правилами, розв’язок в змішаних стратегіях - вирішальними розподілами.

Таким чином, у загальному випадку розв'язком задачі стохастичного програмування є вирішальне правило або вирішальний розподіл, що залежить, взагалі кажучи, від двох груп чинників.

Фактори першої групи не пов'язані із спостереженням поточних значень параметрів умов завдання. Вони визначаються апріорною інформацією - деякими характеристиками розподілу або вибіркою можливих значень випадкових параметрів умов. Фактори першої групи можуть бути завчасно використані для побудови вирішального правила або вирішального розподілу.

Апостеріорною інформацією визначаються фактори другої групи, а саме інформацією, що з'являється в результаті спостереження, вирішальні правила і вирішальні розподіли залежать тільки від детермінованих параметрів і статистичних характеристик випадкових параметрів умов задачі.


Умовні екстремальні задачі, в яких змішані стратегії мають змістовний сенс можна розділити на три класи.


♦ перший клас: до нього відносять задачі математичного програмування з детермінованими умовами , в яких оптимальний план визначається у вигляді розв’язувального розподілу. Функціонали, що виражають показники якості розв’язку і обмеження таких моделей, замінюються на математичне сподівання.

♦ другий клас включає стохастичні задачі, в яких рішення має бути прийняте до спостережень над реалізацією випадкових параметрів умов. Розв’язувальні розподіли в цьому випадку не залежать від реалізації випадку.

Так само, як і задачі з апріорними розв’язувальними правилами ці розв’язувальні розподіли називають апріорними.

♦ третій клас включає в себе задачі, в яких є доцільним приймати після спостережень над реалізацією випадкових параметрів умов задачі. Саме в таких задачах розв’язувальні розподіли напряму залежать від реалізації випадку. Правильним є такі задачі називати апостеріорними задачами.

Таким чином далі можна навести формальний запис трьох класів умов екстремальних задач. Задачі, які належать до першого класу, а саме задачі з детермінованими параметрами умов:


Наведемо формальний запис всіх трьох класів умов екстремальних задач.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{x}

 вектора х при якому:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M\phi_{0} (x) =\int \phi_{0} dF_{x} \rightarrow inf , (3.1)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M\phi_{i} (x) =\int \phi_{i} dF_{x} \leqslant 0, i=1,2,...,m , (3.2)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\in X , (3.3)

де Х задана множина в n-вимірному евклідовому просторі.

В задачах другого класу потрібно обчислити функцію розподілу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{x}

для якої:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M\phi_{0} (\omega,x) =\int \limits_{\tilde{x \times \Omega}} \phi_{0}(\omega,x) dF_{x} dF_{\infty} \rightarrow inf , (3.4)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M\phi_{i} (\omega,x) =\int\limits_{\tilde{x \times \Omega}} \phi_{i}(\omega,x) dF_{x} dF_{\infty} \leqslant 0, i=1,2,...,m , (3.5)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\in X

,  (3.6)

В задачах третього класу потрібно обрахувати умовну функцію розподілу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{x|\infty}

для якої

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M\phi_{0} (\omega,x) =\int \limits_{\tilde{x \times \Omega}} \phi_{0}(\omega,x) dF_{x|\infty} dF_{\infty} \rightarrow inf , (3.7)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M\phi_{i} (\omega,x) =\int\limits_{\tilde{x \times \Omega}} \phi_{i}(\omega,x) dF_{x|\infty} dF_{\infty} \leqslant 0, i=1,2,...,m

,      (3.8)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\in X . (3.9)

1.2. Розглянемо детальніше задачі (3.1)-(3.3) першого класу. Введемо нові змінні:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{y_{i}}= \phi_{i}(x) , i=1,2,...,m , (3.10)

Відображення (3.10) переводить множину Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X \subset R^{n}

в Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):   X \subset R^ {m + 1} 

. В загальному випадку У- не опукла і не замкнена множина. Позначимо через соУ випуклу оболонку множини У. Задача (3.1)-(3.3) Може бути переписана у вигляді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{0} \rightarrow inf

,    (3.11)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{i} \leqslant 0, i=1,2,...,m , (3.12)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y=(y_{0},y_{1},...,y_{m}) \in coY .(3.13)

Якщо слідувати умовам теореми Каратеодорі для побудови випуклої оболонки з множини У із m+1- вимірного простору потрібно в загальному випадку не більше m+2 точок Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y \in Y . Це означає, що соУ може бути представлена у вигляді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ coY= \{\sum^{m+1}_{k=0} {\phi_{i}(x_{k})p_{k}}; i=0,1,...,m; p_{k}\geq 0 , \sum^{m+1}_{k=0} p_{k}=1, x_{k} \in X \} .

Нас цікавлять тільки точки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y \in Y \subset R^{m+1} , одна із координат Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (y_{0})

яких досягає свого екстремального значення. Такі точки у відповідності із наслідком теореми Каратеодорі можуть бути представлені як випуклі комбінації не більш ніж m+1 точок множини У.

Відповідно, задача (3.11)-(3.13), а разом з нею і початкова задача (3.1)-(3.3) повністю визначається набором m+1 векторів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{k} \in X

і m+1 чисел Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  p_{k} (k=0,1,...,m), p_{k}\geq 0, \sum^{m}_{k=0} p_{k}=1.


Задача (3.1)-(3.3)еквівалентна, таким чином, наступній скінченно вимірній задачі.

Потрібно обрахувати вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{k}

і числа  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):   p_{k} 

, які визначають нижню грань функціонала:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{m}_{k=0} {\phi_{0}(x_{k})p_{k}} , (3.14)

за умови

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{k} \in X, p_{k} \geq 0, k=0,1,...,m, \sum^{m}_{k=0} p_{k}=1.

 (3.16)

Вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{k}^*

і числа  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):   p_{k}^* 

, що складають оптимальний план задачі (3.14)-(3.16), визначають дискретний розв'язувальний розподіл вихідної задачі (3.1)-(3.3).

1.3. Визначення апріорних вирішальних розподілів завдань другого класу - стохастичних задач виду (3,4)-(3,6) може бути аналогічним образом зведена до рішення задач кінцево-метричного нелінійного програмування.

Позначимо

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int\limits_{\tilde{ \Omega}} \phi_{i}(\omega,x) dF_{\infty} = \tilde \phi_{i}(x), i=0,1,...,m , (3,17)

У цих позначеннях задача (3.4) - (3.6) зводиться до задачі виду (3.1) - (3.3). Повторюючи міркування попереднього пункту, приходимо до висновку, що обчислення апріорних розв'язувальних розподілів задачі (3.4) - (3.6) еквівалентного розв'язку наступної кінцево-вимірної задачі математичного програмування.

Потрібно обрахувати вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{k}^*

і числа  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):   p_{k}^* 
 які визначають нижню межу функціоналу:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{m}_{k=0} \tilde {\phi_{0}(x_{k})p_{k}}

(3.18)

за умов

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{m}_{k=0} \tilde {\phi_{i}(x_{k})p_{k}} \leqslant 0.

(3.19)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\in X, p_{k} \geq 0, k=0,1,...,m, \sum^{m}_{k=0} p_{k}=1.

(3.20)

Оптимальний план Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{k}^*, p_{k}^*, k = 0,1,...,m,

задачі (3.18) - (3.20) визначає дискретний розв'язувальний розподіл задачі (3.4) - (3.6). 

У випадку, коли множина X складається з скінченного числа s точок Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{1}, ..., x_{s}, . обрахунок вирішального розподілу зводиться до вирішення задачі лінійного програмування

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{s}_{k=1} \tilde {\phi_{0}(x_{k})p_{k}} \rightarrow min

(3.21)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{s}_{k=1} \tilde {\phi_{i}(x_{k})p_{k}} \leqslant 0i=1,2,...,m.

  (3.22)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{s}_{k=1} p_{k}=1,

(3.23)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p_{k} \geq 0, k=1,...,s.

(3.24)

Задача також має певні обмеження. Однією з них є умова невід'ємності змінних задача. А також, оптимальний план задачі ( 3.21 ) - ( 3.24 ) містить не більше m+1 додатних значень Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p_{k} . Величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p_{k}^* \geq 0

і відповідні їм вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  x_{k}^* 
визначають апріорні дискретні вирішальні розподіли розглянутої задачі .Такі міркування є справедливими і для множини Х, яка складається із скінченного числа точок. Цей же принцип може бити використаний для наближення апріорного вирішального розподілу у випадку, коли множина Х являє собою компакт. Дискретні значення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  x_{k} 
відповідають вузлам Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \epsilon 

- мережі(сети) множини Х.

Виконала: Чуйкова Анна Сергіївна

Редагувала: Кухаренко Анастасія